Nullmenge

19.11.2013, 11:24	Halberd12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullmenge Sei $\begin{eqnarray} f: X \to \mathbb R_{\ge 0} \end{eqnarray}$ eine A-messbare Funktion über dem Maßraum (X,A,µ). Zeigen Sie, dass wenn $\begin{eqnarray} \int_X \! fd\mu < \infty \end{eqnarray}$ , dann folgt, dass $\begin{eqnarray} \{x\in X : f(x)= \infty\} \end{eqnarray}$ eine µ-Nullmenge ist. Hallo. Also wirklich viele Ideen habe ich zu dieser Aufgabe nicht, um ehrlich zu sein. Ich weiß, dass f eine nichtneg. numerische A-messbare Funktion ist und somit eine Folge $\begin{eqnarray} (f_i)_{i\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ von monoton steigenden einfachen Funktionen existiert, sodass $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty }f_i = f \end{eqnarray}$ . Also kann ich schreiben $\begin{eqnarray} \int_X \! fd\mu = \lim_{i \to \infty }\sum\limits_{k=1}^n a_k\mu(A_k) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu(A_k) = \mu(\{x: f_i(x) = a_k\}) \end{eqnarray*}$ . Ich weiß allerdings nicht, wie ich die Nullmengeneigenschaft damit zeigen kann. Intuitiv würde ich einfach sagen, dass wenn das Integral über ganz X schon endlich ist, dass es auch nur höchstens endlich (vllt auch abzählbar) viele Stellen geben muss, an denen f den Wert unendlich annimmt. Damit wäre die Menge auch eine Nullmenge. Aber hat jemand eine Idee bzw. einen Ansatz wie man an diese Aufgabe herangehen kann?
19.11.2013, 14:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Darfst du denn die Aussage $\begin{eqnarray} g\leq f \quad \Rightarrow \quad \int g ~ \dd \mu \leq \int f ~ \dd \mu \end{eqnarray}$ für deine nichtnegativen numerischen Funktionen $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ nutzen? In dem Fall wäre das ganze mit $\begin{eqnarray} N = \{ x\in X:\, f(x) = \infty \} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 1_N(x)\cdot \infty \leq f(x) \end{eqnarray}$ sofort erledigt.
19.11.2013, 22:00	Halberd12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, danke. Ja das darf ich benutzen und es ist so tatsächlich ziemlich schnell gezeigt. Aber ich verstehe leider nicht, warum $\begin{eqnarray} 1_N(x)\infty \le f(x) \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} 1_N(x) \end{eqnarray}$ ist ja entweder 1 oder 0, aber warum ist $\begin{eqnarray} f(x) \ge \infty \end{eqnarray}$ ? Es wird wohl an der Tatsache liegen, dass wir bei numerischen Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb R\cup\{\infty\}\cup\{-\infty\} \end{eqnarray}$ als Wertebereich haben, aber ist $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ jetzt auch eine "reelle Zahl"? Also kann man auch $\begin{eqnarray} \infty+1 \end{eqnarray}$ schreiben?

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