Münzwurf

19.11.2013, 14:22

Klausi212

Münzwurf

Meine Frage:
Faire Münze wird dreimal geworfen. Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Münze mit dem Kopf nach oben landet?

a) Wie groß ist E[X^2]?
b) Wie groß ist E^2[X]?

Meine Ideen:
a) E ist Kopf= 1 Zahl= 2
b) E= 2 Zahl= 1

19.11.2013, 15:31

Kasen75

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Hallo,

als erstes könntest du die verschiedenen Ereignisse aufschreiben:

Münze landet 3 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} 111 \end{eqnarray*}$

Münze landet genau 2 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} 112,121,211 \end{eqnarray*}$

Münze landet genau 1 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Münze landet genau 0 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Es sind insgesamt 8 Kombinationen.

Der Erwartungswert, E(x), ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \cdot 3 + \frac{1}{8} \cdot 2 + \frac{1}{8} \cdot 2 +\frac{1}{8} \cdot 2 + \ldots \end{eqnarray*}$

Hier sind die Faktoren 3,2,2,2 jeweils die Anzahl der Einsen.

Dann muss noch die Varianz ausgerechnet werden. Über den Verschiebungssatz kann dann auch $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Grüße.

20.11.2013, 12:57

Klausi212

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Kann man dann eifnach E(x) hoch 2 nehmen oder wie? Wenn man E(x) ausgerechnet hat?

20.11.2013, 13:05

Kasen75

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \left(E(x)\right) ^2 \end{eqnarray*}$ ausrechnest, dann ja.

Das gilt aber nicht für $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ .

20.11.2013, 13:13

Klausi212

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Danke und wie mache ich das dann für x²?

20.11.2013, 13:27

HAL 9000

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Kasen75 hat dazu den Verschiebungssatz erwähnt, d.h. $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ :

Wenn du $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) \end{eqnarray*}$ kennst, kannst du diesen Zusammenhang nach $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ umstellen.

20.11.2013, 13:34

Kasen75

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Du meinst $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ ?

Oder man rechnet $\begin{eqnarray*} E(x^2)=\sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i^2 \end{eqnarray*}$

20.11.2013, 14:21

Klausi212

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ALso ist

was steht für n und was steht für p?

X² = 1 1/8²?

20.11.2013, 14:36

Kasen75

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n sind die Anzahl der möglichen Kombination die bei einem 3-maligen Wurf der Münze.

Die Kombinationen könntest du mal aufschreiben. Ich hatte ja schon angefangen. Dann wirst du sehen, dass n=8 ist.

p ist die Wahrscheinlichkeit, dass die jeweilige Kombination das Ergebnis eines 3-maligen Münzwurfes ist.

Du kann erst einmal E(x) berechnen, usw. Bitte jeweils mit Rechnung.

Zitat:

X² = 1 1/8²?

Wolltest du nicht $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ berechnen ? So ergibt das nämlich keinen Sinn.
Das Ergebnis fällt einfach vom Himmel. Wie bist du darauf gekommen? Wie schon geschrieben, es ist etwas Vorarbeit nötig.

Gehe einfach Stück für Stück vor.

20.11.2013, 14:41

Klausi212

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E(x) ist doch 9/8 oder?

Wenn ich das dann einsetze dann ist es p*9/8²
Da ja x² da steht

20.11.2013, 14:46

Klausi212

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E(x)= 3*1/2= 1,5 also ist E(x) 1,5 oder?

20.11.2013, 14:59

Kasen75

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Zitat:

Original von Klausi212
E(x)= 3*1/2= 1,5 also ist E(x) 1,5 oder?

Vom Ergebnis her stimme ich dir zu. Hast du es so hergeleitet, wie ich in meinem ersten Beitrag ?

Die Vorgehensweise in meinem ersten Beitrag finde ich nämlich hilfreich, um $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ zu ermitteln.

20.11.2013, 15:03

Klausi212

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nein ich habe E(x)= p * n gerechnet also 3 * 1/2.

Wie gehts jetzt weiter wie stell ich das E(x²) auf ich blieck das net muss ich jetzt für x die 3/2 einsetzen? oder wie?

20.11.2013, 15:09

Kasen75

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Es geht so weiter, wie im ersten Beitrag von mir.

Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

als erstes könntest du die verschiedenen Ereignisse aufschreiben:

Münze landet 3 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} 111 \end{eqnarray*}$

Münze landet genau 2 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} 112,121,211 \end{eqnarray*}$

Münze landet genau 1 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Münze landet genau 0 mal mit Kopf nach oben: $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Ergänze die Punkte.

20.11.2013, 15:10

Klausi212

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1 mal kopf: 122, 212, 221
0 mal kopf: 222, 222, 222

20.11.2013, 15:19

Kasen75

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Zitat:

Original von Klausi212
1 mal kopf: 122, 212, 221
0 mal kopf: 222, 222, 222

Fast richtig:

1 mal kopf: 122, 212, 221
0 mal kopf: 222

222 kommt nur einmal vor.

Wenn du die Kombinationen jetzt zusammenzählst, dann kommst du insgesamt auf 1+3+3+1=8

Jede Kombination hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für jede Kombination gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}=p_i=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert, E(x), ist dann $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^8 p_i \cdot x_i=\frac{1}{8} \cdot 3 + \frac{1}{8} \cdot 2 + \frac{1}{8} \cdot 2 +\frac{1}{8} \cdot 2 + \ldots \end{eqnarray*}$ =1,5

Dann ist $\begin{eqnarray*} E(x^2)=\sum_{i=1}^8 p_i \cdot x_i^2 \end{eqnarray*}$

Wie sieht jetzt die Rechnung für $\begin{eqnarray*} E(x^2) \end{eqnarray*}$ aus ?

20.11.2013, 15:40

Klausi212

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achso man muss dann einfach 1/8* 3^2+ 1/8* 2^2+ 1/8* 2^2+ 1/8* 2^2+...

es kommt dann raus E(x²)= 3 oder?

20.11.2013, 15:50

Kasen75

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Zitat:

Original von Klausi212
achso man muss dann einfach 1/8* 3^2+ 1/8* 2^2+ 1/8* 2^2+ 1/8* 2^2+...

es kommt dann raus E(x²)= 3 oder?

Perfekt.

20.11.2013, 15:52

Klausi212

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super dankeschön :-).
Ok jetzt zur b) E²(x), was kann ich machen mit E²?

20.11.2013, 16:01

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} E^2(x) \end{eqnarray*}$ ist einfach nur $\begin{eqnarray*} E(x) \cdot E(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left( E(x) \right) ^2 \end{eqnarray*}$

Was du damit machen willst, weiß ich auch nicht. Was willst du denn machen ?

20.11.2013, 16:03

Klausi212

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Wie groß das ist also dann E²(x)= 1,5 * 1,5 = 2,25 oder?

20.11.2013, 16:07

Kasen75

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Genau.

Jetzt kannst du sogar, mit Hilfe des Verschiebungssatzes, die Varianz ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

20.11.2013, 16:11

Klausi212

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Varianz ist nicht gefragt :-)

a)Nur wie groß E[x²] ist? Da kommt raus 3.
b) Wie Groß E²[x] ist? Da kommt raus 2,25.

Bei b) wie kommst du da auf E(x) * E(x) ist es nicht E *E(x) wieso kriegen zwei E ein x?

Var(X) wäre dann 1,75 . oder?

20.11.2013, 16:11

Klausi212

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Ich mein bei Varianz 0,75

20.11.2013, 16:21

Kasen75

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Zitat:

Original von Klausi212
Varianz ist nicht gefragt :-)

Das ist mir klar. Big Laugh

Zitat:

Original von Klausi212
a)Nur wie groß E[x²] ist? Da kommt raus 3.
b) Wie Groß E²[x] ist? Da kommt raus 2,25.

Soweit die Fragen richtig beantwortet.

Zitat:

Original von Klausi212

Bei b) wie kommst du da auf E(x) * E(x) ist es nicht E *E(x) wieso kriegen zwei E ein x?

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} E^2(x) \end{eqnarray*}$ ist auch etwas ungewöhnlich. Es ist im Prinzip die gleiche Schreibweise wie z.B. bei $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ . Hier bedeutet es auch, dass $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ mit sich selber multipliziert wird: $\begin{eqnarray*} sin^2(x)=sin(x) \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} E^2(x)=E(x) \cdot E(x) \end{eqnarray*}$ . Ich bevorzuge die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (E(x))^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Klausi212
Ich mein bei Varianz 0,75

Jetzt stimmt´s. Freude

20.11.2013, 16:33

Klausi212

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Ok danke für alles

20.11.2013, 16:36

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass es, nach Anfangsschwierigkeiten, sehr gut geklappt hat. smile

20.11.2013, 16:51

HAL 9000

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Wo die Sache nun beendet ist: Man könnte auch nutzen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt ist - natürlich nur, sofern diese Verteilung schon im Unterricht besprochen wurde:

$\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) = B\left(3,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$

mit dann

$\begin{eqnarray*} E(X) = np = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = np(1-p) = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = (E(X))^2 + \operatorname{Var}(X) = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3 \end{eqnarray*}$

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