Differentialgeometrie Raumkurven

19.11.2013, 13:33	AnniTanni	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie Raumkurven Meine Frage: Ich habe noch ein paar Schwierigkeiten bei der Herangehensweise bei folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} c:I\Rightarrow \mathbb R ^{d} \end{eqnarray}$ eine glatte, regulär parametrisierte Kurve. Es bezeichne $\begin{eqnarray} L_{h} \end{eqnarray}$ die Länge des Kurvenstücks, das $\begin{eqnarray} c(t_{0}+h) und c(t_{0} \end{eqnarray}$ verbindet, und $\begin{eqnarray} d_{h}:=\|c(t_{0}+h)-c(t_{0})\| \end{eqnarray}$ den Abstand zwischen den beiden Punkten. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} {\frac{L_{h}-d_{h} }{d^{3}_ {h}} } =\frac{k(t_{0} )^{2}}{24} \end{eqnarray}$ Gehen Sie folgendermaßen vor: a) Warum kann man annehmen, dass c nach Bogenlänge parametrisiert ist? b) Geben Sie einen Ausdruck für die Krümmung $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ einer nach Bogenlänge parametrisierten Kurve c, indem Sie <c',c''> ableiten. Es gibt noch weitere Teilaufgaben, zu denen ich mir aber noch keine Gedanken gemacht habe... Meine Ideen: zu a) kann man sagen, dass man bei dieser Kurve c einfach mit dem Repräsentanten, der nach Bogenlänge parametrisiert ist, arbeitet? Es gibt ja viele Parametrisierungen, dann kann man sich ja die schönste rausgreifen. Ansonsten weiß ich, dass bei einer nach Bogenlänge parametrisierten Kurve der Betrag der Ableitung von c =1 ist, aber irgendwie hilft mir das hier gerade nicht weiter, weil für c ja gar nichts konkretes gegeben ist. Sonst habe ich als mögliche Begründung noch gehört, dass man das annehmen kann,w eil sich die Krümmung nicht ändert. Damit kann ich aber auch nicht so recht was anfangen. zu b) Ich kenne folgende Formel zur Berechnung der Krümmung einer Kurve: $\begin{eqnarray} k=\frac{<Jc',c''>}{\|c'\|^{3}} \end{eqnarray}$ oder bei Bogenlängeparametrisierung c''=kn Ich weiß jetzt nicht so recht, wie ich anfangen soll und warum ich <c',c''> ableiten soll Wäre toll, wenn mir jemand einen Anstoß geben könnte!

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