Grenzwert einer rekursiven Folge

19.11.2013, 17:48

voodoo666

Grenzwert einer rekursiven Folge

Hallo! Habe eine rekursive Folge, soll zeigen dass sie monoton steigend ist und den Grenzwert berechnen.

Die Monotonie zu zeigen war nicht das Problem, habe ich mittels vollständiger Induktion gemacht.
Problematisch wird es bei der Berechnung des Grenzwerts. Ich habe absolut gar keine Ahnung wie ich das lösen könnte.
Sei $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb R , c\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{0} = \sqrt{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sqrt{c + x_{n} } \end{eqnarray*}$

Könnte mir jemand einen Stupser in die richtige Richtung geben?
Danke im Vorraus!
Grüße

19.11.2013, 18:56

twanmal

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Hallo,
nimm doch x_(n+1) = exp( log(sqrt( c+x_n) ) ) und schau was passiert : du solltest dann bis x_0 weiterentwickeln können.

19.11.2013, 19:16

voodoo666

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Zitat:

Original von twanmal
Hallo,
nimm doch x_(n+1) = exp( log(sqrt( c+x_n) ) ) und schau was passiert : du solltest dann bis x_0 weiterentwickeln können.

Hallo. Danke für die schnelle Antwort, aber leider habn wir exp und log in der Analysis I Vorlesung noch nicht definiert, daher darf ich diese auch noch nicht nutzen. Gibt es andere Wege?

19.11.2013, 19:27

HAL 9000

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So sonderlich klar ist auch nicht, was der Hinweis von twanmal bewirken soll. unglücklich

Nein, im Fall der Existenz des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} g=\lim_{n\to\infty} x_n \end{eqnarray*}$ kann man auch in der Iterationsgleichung zum Grenzwert übergehen, es ist dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{c+x_n} = \sqrt{c+\lim_{n\to\infty} x_n} \end{eqnarray*}$

Beim letzten = wird die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sqrt{c+x} \end{eqnarray*}$ genutzt. Nun den Grenzwert einsetzen:

$\begin{eqnarray*} g = \sqrt{c+g} \quad (*) \end{eqnarray*}$ ,

denn die nur um eine Position indexverschobene Folge $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ links hat denselben Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Die Aussage ist also die: Falls der Grenzwert existiert, dann muss er Gleichung (*) erfüllen.

P.S.: Es bedeutet insbesondere nicht, dass jede Lösung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von (*) auch Grenzwert der Folge ist. Und solange die Konvergenz der Folge nicht bewiesen ist bedeutet es auch nicht, dass im Fall der Lösbarkeit von (*) eine der Lösungen Grenzwert ist.

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