Schaltvorgang RL-Stromkreis DGL

19.11.2013, 18:25

Jagr

Schaltvorgang RL-Stromkreis DGL

Hey Leute,
Ich soll in einer Abgabe folgende Aufgabe lösen:
Betrachten Sie einen Stromkreis, in dem eine Spannungsquelle, ein ohmscher Widerstand und eine Spule in Serie geschalten sind. Leiten Sie eine DGL für den Stromfluss her.
Bin davon ausgeangen, dass es nicht schwer ist, da wir das schon in Elektronik mal hergeleitet haben.
Ich hab ganz normal die Masche aufgestellt und dann erstmal durch L geteilt sodass dasteht:
$\begin{eqnarray*} di(t)/dt+\frac{R}{L}*i(t) = \frac{u(t)}{l} \end{eqnarray*}$
Dannach Variation der Konstanten angewendet und zuerst die Homogene Gleichung gelöst. ALso
$\begin{eqnarray*} \int_{i(t0)}^{i(t)} \!\frac{1}{i} \, \dd t=\int_{t0}^{t} \! \frac{-R}{L} ) \, \dd t \end{eqnarray*}$
Das dann umgeformt und aufgelöst ergab
$\begin{eqnarray*} i(t)=C*e^{\frac{-Rt}{L} } +i(t0) \end{eqnarray*}$
Und dann gerate ich ins holpern. Eigentlich sollte ich jetzt die inhomogene Gleichung lösen. Aber wie mache ich das? Dieses i(t0) hängt ja noch hinten dran. Ich könnte zwar aus Anfangsbedingungen alles weiter herleiten, so wie in der E-Technik üblich, aber mein Prof meinte, dass wir das allgemein herleiten sollen, also ohne Anfangsbedinungen, sodass wir den Ein und Ausschaltvorgang herausbekommen.
Kann mir irgendjemand einen Hinweis geben wie ich ab dieser Gleichung weiter verfahren muss ?

19.11.2013, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jagr
Das dann umgeformt und aufgelöst ergab
$\begin{eqnarray*} i(t)=C*e^{\frac{-Rt}{L} } +i(t0) \end{eqnarray*}$

Nein: Die Anfangsbedingung kommt erst am Ende der Betrachtungen (d.h. nach Auffindung einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL) zum Tragen. Und einfach so "additiv hinten dranhängen" ist eh grundverkehrt. unglücklich

Zunächst mal ist aus der Lösung der homogenen Gleichung der Ansatz

$\begin{eqnarray*} i_P(t) = C(t)\cdot e^{\frac{-Rt}{L}} \end{eqnarray*}$

(d.h. Variation der Konstanten) für die inhomogene DGL zu folgern.

19.11.2013, 19:07

Jagr

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So also wenn ich das dann diesen Ansatz für die inhomogene DGL nehme komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} C^1(t)=\frac{u(t)}{L} *e^{\frac{Rt}{L} } \end{eqnarray*}$
Dann müsste ich ja eigentlich integrieren. Da ich zwei Funktionien habe die beide von t abhängen würde ich partiell integrieren, aber da komme ich nicht weiter.
Und diese I(t0) kommt doch eigentlich vom integral runter, also die untere Grenze, oder definiert man das dann zusammen zu C ?

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