Stetige Wege in C stets homotop zu stetig diffbaren?

19.11.2013, 18:58

Contarsius

Stetige Wege in C stets homotop zu stetig diffbaren?

Hallo,

ich versuche folgende Aussage zu zeigen. Die Motivation für mich ist, dass im komplexen bei uns einfacher Zusammenhang über Nullhomotopie von Integrationswegen definiert wurde.
Integrationswege waren stückweise stetig differenzierbar, d.h. es exisitert eine Partition des Intervalls von dem man ausgeht, sodass der Weg eingeschränkt auf die Teilintervalle, die man durch die Partition erhält, stetig differenzierbar ist.

Nun ist Homotopie aber allgemein doch über stetige Wege definiert und ich würde gerne die Äquivalenz beweisen, d.h. dass es legitim ist sich auf (stückweise) stetig differenzierbare Wege zurückzuziehen.

Sei also $\begin{eqnarray*} G\subset\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Gebiet, d.h. offen und zusammenhängend, $\begin{eqnarray*} \gamma:[0, 1] \to G \end{eqnarray*}$ ein Weg (also "nur" stetig). Wir wollen zeigen, dass ein (stückweise) stetig differenzierbare Weg existiert, der dazu homotop ist.

Ich scheitere daran kläglich. Ich habe versucht über Polygonzüge zu gehen und Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} K = \gamma([0,1]) \end{eqnarray*}$ auszunutzen um eine endliche Überdeckung mit Bällen zu bekommen, die alle noch ganz im Gebiet liegen.
Da kann ich mir dann einen Polygonzug durchlegen, der jeden Ball einmal betritt und dann sollte das eigentlich homotop dazu sein.
Weiter komme ich aber nicht, das "eigentlich" ist der Punkt, an dem es hängt ...

Hat jemand eine alternative Beweisidee, einen Link, wo man das nachlesen kann oder was mir am liebsten wäre: einen Denkanstoß?

30.11.2013, 22:47

Che Netzer

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RE: Stetige Wege in C stets homotop zu stetig diffbaren?

Zitat:

Original von Contarsius
Ich scheitere daran kläglich. Ich habe versucht über Polygonzüge zu gehen und Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} K = \gamma([0,1]) \end{eqnarray*}$ auszunutzen um eine endliche Überdeckung mit Bällen zu bekommen, die alle noch ganz im Gebiet liegen.

Das klingt ja schonmal ganz gut.
Du könntest aber (statt der Betrachtung von Polygonzügen) auch ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} C^1[0,1] \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} C[0,1] \end{eqnarray*}$ liegt (meinetwegen auch den Approximationssatz von Weierstraß benutzen).

Wenn du eine Epsilon-Umgebung $\begin{eqnarray*} \bigcup_{t\in[0,1]}U_\varepsilon\bigl(\gamma(t)\bigr) \end{eqnarray*}$ der Kurve hast und einen Punkt $\begin{eqnarray*} \tilde\gamma(t) \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ approximiert, liegt ja auch deren Verbindungsstrecke in der Umgebung.

30.11.2013, 23:28

Contarsius

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RE: Stetige Wege in C stets homotop zu stetig diffbaren?
Hm, ich hatte bis grade noch verschiedene Einwände/Gegenbeispiele gegen einen solchen Beweisweg aber die haben sich wegen der Kompaktheit und der gleichmäßigen Approximation durch (Stone-)Weierstraß alle aufgelöst ... hatte da wohl einen (eher mehrere) Denkfehler.
Danke dir smile

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