Tetraeder schneidet Ebene

19.11.2013, 19:30	Gast38924	Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder schneidet Ebene Hallo, habe Probleme bei folgender Aufgabe: Ein Tetraeder der Kantenlänge a soll im Volumen 5:1 von der y-z-Ebene geschnitten werden. Bei welchem X findet der Schnitt statt? Die Punkte des Tetraeders schreibe ich jetzt extra nicht auf, da ich "nur" theoretische denkanstöße zum Vorgehen benötige. Die Ebenengleichung scheint E: x+D=0 zu sein, wobei das D ja dann der Abstand vom Ursprung wäre, was ja gesucht ist. Weiter habe ich das Gesamtvolumen in Abhängigkeit von a berechnet sowie die Volumengröße nach dem Schnitt. Habe versucht mit den Vektoren des Spatprodukts x als Variable zu setzen etc. Komme leider nicht weiter! Zweiten Beitrag hier eingefügt und gelöscht, sonst sieht's so aus, als ob schon geholfen wird. Steffen Die Grungfläche befindet sich in der x-y-Ebene, ein Eckpunkt liegt im Ursprung, eine Seite a liegt auf der y-Achse. Habt ihr irgendwelche Ideen um die Aufgabe anzugehen? Alle meine Ansätze sind im Sande verlaufen...
20.11.2013, 13:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist schwierig zu helfen, wenn nur die Hälfte der Daten bekannt ist. Und wie soll man miteinander sprechen, wenn die Dinge keinen Namen haben? Daher vergebe ich jetzt selbst die Namen. Die Bodenfläche in der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene sei $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ als Ursprung, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ im I. Quadranten und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ auf der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse. Ich nehme an, daß das Tetraeder regulär ist. Die Punkte haben dann die folgenden Koordinaten: $\begin{eqnarray} A = (0 , 0 , 0) \, , \ \ B = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a , \frac{1}{2} a , 0 \right) \, , \ \ C = (0 , a , 0) \end{eqnarray}$ Der vierte Eckpunkt des Tetraeders sei $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ im I. Oktanten. Er liegt senkrecht über dem Schwerpunkt von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ und hat die Koordinaten $\begin{eqnarray} D = \left( \frac{\sqrt{3}}{6} a , \frac{1}{2} a , \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot a \right) \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} yz \end{eqnarray}$ -Ebene schneidet das Tetraeder nicht in einer Fläche. Ich vermute daher weiter, daß diese Angabe nicht stimmt. Vermutlich ist eine zur $\begin{eqnarray} yz \end{eqnarray}$ -Ebene parallele Ebene $\begin{eqnarray} x=r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ gemeint. Der Anschauung nach muß $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ so groß sein, daß die Spitze $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zwischen den Ebenen $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=r \end{eqnarray}$ liegt, damit fünf Sechstel des Inhalts "links" und ein Sechstel "rechts" der Ebene $\begin{eqnarray} x=r \end{eqnarray}$ liegen (ich hoffe, die Anschauung trügt mich nicht). Und dieses Sechstel ist selber wieder eine Pyramide. Die Ebene $\begin{eqnarray} x=r \end{eqnarray}$ schneide die Kanten $\begin{eqnarray} BA,BC,BD \end{eqnarray}$ in Punkten $\begin{eqnarray} E,F,G \end{eqnarray}$ . Die kleine Pyramide hat daher das Dreieck $\begin{eqnarray} EFG \end{eqnarray}$ als Grundfläche und den Abstand von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zur Ebene $\begin{eqnarray} x=r \end{eqnarray}$ als Höhe. Du mußt jetzt das Volumen $\begin{eqnarray} V(r) \end{eqnarray}$ dieser kleinen Pyramide auf irgendeine dir bekannte Art berechnen und kannst aus der Gleichung $\begin{eqnarray} V(r) = \frac{1}{6} V \end{eqnarray}$ worin $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ das Volumen des gesamten Tetraeders meint, die Größe $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ bestimmen.
20.11.2013, 14:23	Gast38924	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Annahme, dass das gleichmäßige Tetraeder von einer Ebene geschnitten wird, die parallel zur y-z Ebene liegt, ist korrekt. Sorry dafür. Ich verstehe nicht, wieso nach dem Schnitt wieder eine Pyramide entstehen soll? Der Schnitt ist schließlich parallel zu z-y Ebene ?
20.11.2013, 18:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]32153[/attach] $\begin{eqnarray} EFGB \end{eqnarray}$ ist eine Pyramide. Da die Seitenflächen $\begin{eqnarray} EFG \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} EFB \end{eqnarray}$ senkrecht zueinander sind, kannst du für die Pyramide sowohl $\begin{eqnarray} EFG \end{eqnarray}$ als Grundfläche und $\begin{eqnarray} HB \end{eqnarray}$ als Höhe oder $\begin{eqnarray} EFB \end{eqnarray}$ als Grundfläche und $\begin{eqnarray} HG \end{eqnarray}$ als Höhe auffassen.
20.11.2013, 18:50	Gast38924	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin davon ausgegangen, dass der Schnitt nach den ersten 1/6 stattfindet und nicht nach 5/6, also von der positiven X-Achse aus gesehen. Lässt die Angabe 5:1 da Spielraum oder ist es auf jeden Fall so, dass nach 5/6 der Schnitt kommt? Ich bedanke mich schonmal für deine gute Hilfestellung
21.11.2013, 07:05	Gast38924	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, angenommen der Schnitt ist so korrekt, kann man weiter so vorgehen? $\begin{eqnarray} V_{kleinePyr} = \frac{1}{6} [\vec{BA},\vec{BC},\vec{BD}] \end{eqnarray}$ Bei den drei Vektoren habe ich die für die X-Koordinaten die Variable X benutzt, und dann nach X umgestellt.
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