Lineare Unabhängigkeit

19.11.2013, 22:30

AlgebraGnom

Lineare Unabhängigkeit

Seien die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v}_1,...,\vec{v}_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Zeigen Sie, steht ein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf allen $\begin{eqnarray*} \vec{v}_1,...,\vec{v}_n \end{eqnarray*}$ so ist auch $\begin{eqnarray*} \vec{v}_1,...,\vec{v}_n , \vec{x} \end{eqnarray*}$ lineare unabhängig. Hinweis: Nehmen Sie an $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ wäre linear abhängig zu $\begin{eqnarray*} \vec{v}_1,...,\vec{v}_n \end{eqnarray*}$ schreiben sie $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der anderen Vektoren und multiplizieren Sie skalar mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Hello,

Hier mein Ansatz:

Leider weiß ich nicht genau ob der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auch aus dem $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ sein soll verwirrt

, aber ok. Dann erst mal der Hinweis. Annahme : Die Vektoren sind linear Abhängig, d.h.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = x_i \vec{v_i} \end{eqnarray*}$

Das wäre $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ als linear Kombination von den anderen Vektoren.
Dann müsste die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 0=x_i \vec{v_i} \end{eqnarray*}$
Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ haben.

Jetzt soll ich skalar mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Leider komm ich hier nicht weiter wegen dem Problem oben, ist $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ ? Oder wie, weil man kann doch Vektoren unterschiedlicher Dimension doch nicht skalar multiplizieren oder? verwirrt

Gruß

19.11.2013, 23:19

DerJFK

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Ja, für alle Vektoren gilt: $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n,x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Deine Bedingung für Linear abhängig verstehe ich nicht.

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n,x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n + \alpha_{n+1} x = 0 \end{eqnarray*}$ und die Gleichung nur die Lösung $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \ \forall i \in \{ 1,...,n+1 \} \end{eqnarray*}$

Abhängig sind die Vektoren eben dann, wenn es auch eine Lösung gibt in der einige $\begin{eqnarray*} \alpha_i \not= 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Ich denke mit Skalar multiplizieren ist gemeint, dass du den Transponierten Vektor daran Multiplizierst: $\begin{eqnarray*} y^{\text{T}}x \end{eqnarray*}$ , was eben das euklidische skalarprodukt ist.

EDIT: steht in der Aufgabe wirklich n linear unabhängige vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ? Somit würden die Vektoren ja den gesamten Raum aufspannen und insbesondere den vektor x, der somit linear abhängig wäre. Und nicht linear unabhängig sein kann.

Fehlt evtl. noch etwas beim aufgaben text?

19.11.2013, 23:27

algebragnom

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Hi DerJFK !

Ja genau das hab ich gemeint mit linearer Abhängigkeit. Also wenn ich dann den $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ skalar dran multipliziere bleibt die linke Seite null und auf der rechten Seite sind nur Skalare, und dann ist die Gleichung nur richtig wenn $\begin{eqnarray*} x_i = 0 \end{eqnarray*}$ , also ein widerspruch zur Annahme, ist das damit fertig?

Gruß

19.11.2013, 23:29

algebragnom

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Ehhr ja da steht noch eine Bemerkung das man deswegen durch das Vektorprodukt einfach einen dritten Linear unabhängigen Vektor bestimmen kann, dachte das wär nich so wichtig.

Gruß

19.11.2013, 23:32

algebragnom

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ach verdammt, tut mir leid, oben steht noch ...v_m aus R^n mit m kleiner n

Gruß

19.11.2013, 23:59

DerJFK

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Ist schon wichtig Augenzwinkern

Verstehe nur deine Argumentation nicht? Was ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = x_i \vec{v_i} \end{eqnarray*}$

Das wäre $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ als linear Kombination von den anderen Vektoren.
Dann müsste die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 0=x_i \vec{v_i} \end{eqnarray*}$
Lösungen mit $\begin{eqnarray*} x_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ haben.

Wo steht da die Linearkombination von x ?

Eine Linearkombination von x sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_m v_m = x \end{eqnarray*}$

und jetzt mach mal:

$\begin{eqnarray*} x^{\text{T}}(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_m v_m) = x^{\text{T}}x \end{eqnarray*}$

was kommt dann raus?

20.11.2013, 00:09

algebragnom

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ok schon gut, bisschen doof meine Notation. Ja also auf beiden Seiten kommen nur Skalare raus. Und dann wie in meinem letzten post verwirrt

Gruß

20.11.2013, 00:12

DerJFK

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Zitat:

steht ein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf allen $\begin{eqnarray*} \vec{v}_1,...,\vec{v}_n \end{eqnarray*}$

Was ist denn das Kriterium, dass der Vektor x auf den v_i senkrecht steht? Wenn du das weißt, berechne bitte:

$\begin{eqnarray*} x^{\text{T}}(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_m v_m) = x^{\text{T}}x \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis davon, habe ich noch nirgends hier gesehen.

20.11.2013, 00:22

algebragnom

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AHH

$\begin{eqnarray*} x^{\text{T}}(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_m v_m) = x^{\text{T}}x \end{eqnarray*}$
Da die beiden Vektoren orthogonal sein sollen:
$\begin{eqnarray*} x^{\text{T}}(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_m v_m) = x^{\text{T}}x=0 \end{eqnarray*}$
Ist das jetzt ein Widerspruch verwirrt

Ich denke ich geh jetzt auch mal ins Bett, muss um 6 Uhr schon wieder raus smile

Danke für die Hilfe bis jetzt, gute Nacht !

20.11.2013, 00:25

DerJFK

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{\text{T}}(\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_m v_m) = x^{\text{T}}x=0 \end{eqnarray*}$

kann für einen Vektor $\begin{eqnarray*} x \not= 0 \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} x^\text{T}x=0 \end{eqnarray*}$ ?!

20.11.2013, 09:23

algebragnom

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hello again smile

Nope

Vektor zum quadrat ist ja der Betrag, und dieser ist größer oder gleich null, da der Vektor nicht null ist, kann er nur größer als Null sein. Also Widespruch !

Gruß

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