Jeder Vektor des Q^3 darstellbar als Linearkombination

20.11.2013, 10:41

LemanRuss

Jeder Vektor des Q^3 darstellbar als Linearkombination

Hi,

Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} b = (b_{1} , b_{2}, b_{3}) \end{eqnarray*}$ des Standardvektorraumes $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^{3} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} (2,0,4) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (5,0,3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (1,6,0) \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Idee:

Kann ich einfach das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} 2x + 0y + 4z = b_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x + 0y + 3z = b_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 6y + 0z = b_{3} \end{eqnarray*}$

lösen? Die Ergebnisse x, y, z sagen mir dann, mit welchem Faktor die 3 Vektoren linear kombiniert werden müssen, damit $\begin{eqnarray*} b = (b_{1} , b_{2}, b_{3}) \end{eqnarray*}$ rauskommt?

20.11.2013, 10:50

klarsoweit

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RE: Jeder Vektor des Q^3 darstellbar als Linearkombination
Dummerweise führt die Linearkombination $\begin{eqnarray*} x \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht auf dieses Gleichungssystem. verwirrt

20.11.2013, 10:50

SigmundFreud

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Naja, du kannst auch argumentieren, dass wenn deine 3 Vektoren linear unabhängig sind, sie eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^{3} \end{eqnarray*}$ bilden und sich damit jeder Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^{3} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt (falls ihr das schon hattet). An $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind ja soweit keine Vorraussetzungen gestellt, außer das seine Komponenten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ kommen. Da allerdings die Multiplikation eines Elementes aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit einer Komponente der 3 Vektoren wieder in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ landet ist hier allerdings auch nichts mehr zu zeigen.

Vorrausgesetzt natürlich die 3 Vektoren sind linear unabhängig, was ich nicht überprüft habe.

20.11.2013, 11:52

LemanRuss

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RE: Jeder Vektor des Q^3 darstellbar als Linearkombination

Zitat:

Original von klarsoweit
Dummerweise führt die Linearkombination $\begin{eqnarray*} x \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht auf dieses Gleichungssystem. verwirrt

Meeeeh habs falsch aufgeschrieben, so müsste es richtig sein:

$\begin{eqnarray*} 2x + 5y+z = b_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x + 0y+6z = b_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x + 3y+0z = b_{3} \end{eqnarray*}$

Es kommen zwar recht hässliche Terme raus für x und y, aber ich glaube den Vorschlag von Sigmund darf ich eh noch nicht verwenden.

20.11.2013, 11:57

SigmundFreud

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Dann solltest du aber noch zeigen/daraufhinweisen, dass Faktoren die du in der Darstellung deiner $\begin{eqnarray*} b_1 , b_2 , b_3 \end{eqnarray*}$ hast auch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ sind. Damit solltest du dann fertig sein.

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