Konvergenz Funktionenreihe

20.11.2013, 11:12

Knupfilrt

Konvergenz Funktionenreihe

Hallo;

Wie prüft man die Konvergenz einer Funktionenreihe?

Ich habe folgende gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (x*(1-x^2)^n \end{eqnarray*}$ .

Die Glieder der Reihe sind hier eben Funktionen von x..

Die Reihe sieht aus wie eine Potenzreihe, allerdings habe ich dort ja eine Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (a_n)*(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ verwirrt

20.11.2013, 11:15

klarsoweit

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RE: Konvergenz Funktionenreihe
Was immer geht, ist die Anwendung der bekannten Konvergenzkriterien für Reihen. smile

20.11.2013, 12:02

Grautvornix

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RE: Konvergenz Funktionenreihe
Wie sieht denn die Funktionenfolge, über die summiert wird, eigentlich genau aus?

So wie es da steht ist es wegen unvollständiger Klammerung nicht klar zu erkennen.

20.11.2013, 12:56

Knupfilrt

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So sieht es aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x*(1-x^2)^n (x \in \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

so stehts da

Heißt das, ich betrachte Funktionsreihen analog zu Reihen von Zahlenfolgen?

20.11.2013, 13:05

klarsoweit

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In gewisser Weise ja. Mittels der Konvergenzkriterien für Reihen erhältst du Aussagen, für welche x die Reihe konvergiert. Tipp: im jeden Fall für x=0. Augenzwinkern

20.11.2013, 13:14

Knupfilrt

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Hey,

kannst du mir vielleicht ein Beispiel geben für eine Funktionenreihe, an der man Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz gut zeigen kann?

Bei Reihen von Zahlen kenne ich eigentlich nur absolute Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergenz.
Nun gehts ja aber um Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz und leider, leider werde ich gerade nicht schlau aus den Büchern, was das alles zu bedeuten hat.. geschockt

20.11.2013, 13:25

klarsoweit

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Das ist doch schon ein Beispiel. Wie wäre es, wenn du jetzt mal aktiv wirst, und ein Konvergenzkriterium auf die Reihe anwendest?

20.11.2013, 13:36

Knupfilrt

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x*(1-x^2)^n = x* \sum_{n=0}^\infty (1-x^2)^n \end{eqnarray*}$

Dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (1-x^2)^n \end{eqnarray*}$ nach dem Wurzelkriterium, wenn

$\begin{eqnarray*} ^n\sqrt{|1-x^2|^n} < 1 \end{eqnarray*}$ d.h.:
$\begin{eqnarray*} 1-x^2 < 1 \end{eqnarray*}$

und das ist der Fall für $\begin{eqnarray*} x^2 > 0 \end{eqnarray*}$ ?!

20.11.2013, 13:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knupfilrt
$\begin{eqnarray*} 1-x^2 < 1 \end{eqnarray*}$

Hier solltest du die Betragsstriche nicht einfach weglassen. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} |1-x^2| < 1 \end{eqnarray*}$

Übrigens bekommt man die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (1-x^2)^n \end{eqnarray*}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = \sqrt z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x = -\sqrt z \end{eqnarray*}$ auf die Form einer Potenzreihe. Augenzwinkern

20.11.2013, 13:54

Knupfilrt

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Ok, dann sollte

$\begin{eqnarray*} |1-x^2| < 1 \end{eqnarray*}$ ergeben:

$\begin{eqnarray*} -1 < 1-x^2 < 1 \end{eqnarray*}$ d.h.
$\begin{eqnarray*} 0 < x^2 < 2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

20.11.2013, 14:10

klarsoweit

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OK. Und das bedeutet für x?

20.11.2013, 14:17

Knupfilrt

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Ich glaube wirklich langsam ich nicht geeignet für das weitere Mathematikstudium.. unglücklich

Also ich weiß, dass
- x größer als 0 sein muss
- x kleiner als Wurzel 2 sein muss,
d.h. $\begin{eqnarray*} x \in ]0;\sqrt{2}[ \end{eqnarray*}$

Dummerweise bezieht sich das ja nur auf die betrachtete Reihe, von der "x" als Faktor vor die Reihe verschoben wurde.

Laut diversen Skripten:

Punktweise Konvergenz:
Die Funktionenreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (a_n) \end{eqnarray*}$ heißt punktweise konvergent an $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , wenn die Zahlenreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (a_n)(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Die Menge aller x, für die diese Zahlenreihe konvergiert, heißt dann die Konvergenzmenge..

Okay, ich brauche als am Ende meiner Aufgabe eine Aussage der Art "Die Funktionenreihe ... ist punktweise konvergent an allen x für die gilt: ...".

Verstehe ich das denn richtig?

20.11.2013, 14:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knupfilrt
Also ich weiß, dass
- x größer als 0 sein muss
- x kleiner als Wurzel 2 sein muss,
d.h. $\begin{eqnarray*} x \in ]0;\sqrt{2}[ \end{eqnarray*}$

Da das x im Quadrat da steht, ist das Vorzeichen von dem x unerheblich und mithin kommt da noch etwas mehr in Frage.

Zitat:

Original von Knupfilrt
Laut diversen Skripten:

Punktweise Konvergenz:
Die Funktionenreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (a_n) \end{eqnarray*}$ heißt punktweise konvergent

Ich weiß nicht, was original in dem Skript steht, aber obiges ist keine Funktionenreihe.

Zitat:

Original von Knupfilrt
Okay, ich brauche als am Ende meiner Aufgabe eine Aussage der Art "Die Funktionenreihe ... ist punktweise konvergent an allen x für die gilt: ...".

Verstehe ich das denn richtig?

Ja.

20.11.2013, 15:00

Knupfilrt

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Oh, ja das stimmt.

Also ist $\begin{eqnarray*} x \in ]-\sqrt{2},0[ \cup ]0, \sqrt{2}[ \end{eqnarray*}$ ?

"mithin kommt da noch etwas mehr in Frage"
Wie darf ich das verstehen? smile

20.11.2013, 15:05

klarsoweit

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Eben genau so, daß das Intervall etwas größer ist. Die 0 darfst du auch noch reinnehmen, denn dafür konvergiert die ursprüngliche Funktionenreihe ebenfalls.

22.11.2013, 12:14

Vazrael

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Hallo auch hier nochmal,

Ich muss einfach nochmal fragen..

Im Skript steht

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty f_n \end{eqnarray*}$ heißt gleichmäßig konvergent, wenn die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (S_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n fk \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent ist.

Weiter:

Eine Funktionenfolge (f_n) heißt gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in N \forall n >= n_0 \forall x \in M: |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$
( >= ist größergleich)

D.h. für meine Funktionenreihe prüfe ich, ob die Funktionenfolge [l](x*(1-x^2)^n [/latex] gleichmäßig konvergent ist und zwar gegen eine Funktion f.

Ich habe mir die Funktionen für die ersten n (n=0, n=1, ...) mal in einen Funktionsplotter gezeichnet.

Was sagt mir der Graph all dieser Funktionen dann über die gleichmäßige Stetigkeit aus?
Wie kann ich mir die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktionenreihe vorstellen?

Herzlichen Dank nochmals!

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