Frenet-Dreibein (Differentialgeometrie)

20.11.2013, 12:51

EvMaTo

Frenet-Dreibein (Differentialgeometrie)

Meine Frage:
Betrachten Sie die Raumkurve $\begin{eqnarray*} c(t):=(t, y(t), z(t)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
a) Welche Bedingungen müssen die Funktionen $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ erfüllen, damit das begleitende Dreibein im Punkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ mit den drei Einheitsvektoren übereinstimmt, d.h. $\begin{eqnarray*} v(0)=e_{1}, n(0)=e_{2}, b(0)=e_{3} \end{eqnarray*}$ ?
b) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \kappa(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau(0) \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung, dass die Bedingungen aus Teil a) erfüllt sind.
c) Geben Sie zu vorgegebenen Werten $\begin{eqnarray*} \kappa(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau(0) \end{eqnarray*}$ möglichst einfache Funktionen $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:
a) Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} v=c^{'}=(1,0,0)^{T} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Wenn ich also die gegebene Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ableite, bekomme ich immer eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ an erster Stelle, da $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt. Soweit so gut.
Die Funktionen $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(t) \end{eqnarray*}$ müssen demnach eine Konstante sein, damit ich bei der Ableitung eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ erhalte.
Wenn ich mir diese Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ vorzustellen versuche, denke ich, dass es sich um eine zur $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ -Achse parallele Gerade handelt.

Nun beachte ich, dass $\begin{eqnarray*} n=\frac{c^{''}}{| c^{''} | } =(0,1,0)^{T} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Ich betrachte also $\begin{eqnarray*} c^{''}(t) \end{eqnarray*}$ und erkenne, dass $\begin{eqnarray*} y^{''}(t)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{''}(t)=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Daraus schließe ich darauf, dass $\begin{eqnarray*} y^{'}(t) = t (+ Konstante) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{'}(t) = Konstante \end{eqnarray*}$ und schließlich auch $\begin{eqnarray*} y(t)=t^{2}... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(t)=t... \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Schon jetzt stoße ich also auf unterschiedliche Bedingungen und weiß nicht mehr weiter...

20.11.2013, 13:34

Huggy

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RE: Frenet-Dreibein (Differentialgeometrie)

Zitat:

Original von EvMaTo
Die Funktionen $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(t) \end{eqnarray*}$ müssen demnach eine Konstante sein, damit ich bei der Ableitung eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ erhalte.
weiter...

Wie kommst du darauf? Es muss doch lediglich gelten

$\begin{eqnarray*} y'(0)= 0 \quad z'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Es muss nicht gelten

$\begin{eqnarray*} y'(t)= 0 \quad z'(t)=0 \text { für } t \neq 0 \end{eqnarray*}$

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