Folgenkriterium und Stetigkeit

20.11.2013, 14:58

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgenkriterium und Stetigkeit

Meine Frage:
Hey,

ich hänge momentan über folgender aufgabe:

Zeigen Sie die Stetigkeit für f : R -> R mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x*e^{-\frac{1}{x^{2} }}) \end{eqnarray*}$

wobei das für x ungleich 0 gilt und für x = 0 f(0)= 0 seien soll.

Dies sollen wir mit dem Folgenkriterium machen , nur leider habe ich keinen blassen schimmer wie. unglücklich

unglücklich

Meine Ideen:
Ich weiß, das das Folgekriterium besagt,
wenn es Xn folgen gibt, die für n gegen unendlich gegen einen Grenzwert konvergiert, so gilt : f(Xn) = f(Grenzwertes)

20.11.2013, 15:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgenkriterium und Stetigkeit

Zitat:

Original von Evilberry
Meine Ideen:
Ich weiß, das das Folgekriterium besagt,
wenn es Xn folgen gibt, die für n gegen unendlich gegen einen Grenzwert konvergiert, so gilt : f(Xn) = f(Grenzwertes)

Also das solltest du dir nochmal genauer ansehen. Ich kenne das so:

Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x_0, wenn für jede Folge x_n, die gegen x_0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte f(x_n) gegen f(x_0) konvergiert.

20.11.2013, 15:23

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgenkriterium und Stetigkeit
Ich verstehe das so, f ist stetig an der Stelle x_0 wenn jede folge x_n gegen x_0 konvergiert, dann
konvergieren auch die funktionswerte f(x_n) automatisch gegen f(x_0)

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

20.11.2013, 15:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folgenkriterium und Stetigkeit
Ich verbessere deinen Satz nochmal:

f ist stetig an der Stelle x_0, wenn für jede Folge x_n, die gegen x_0 konvergiert, dann
auch die Funktionswerte f(x_n) automatisch gegen f(x_0) konvergieren.

20.11.2013, 15:46

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

ok aber mir fällt immer nocht nix ein wie ich das nun lösen soll unglücklich

unglücklich

20.11.2013, 15:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt doch nur tun, was die Definition verlangt. Sei x_n eine Folge, die gegen Null konvergiert. Zeige nun, daß dann f(x_n) gegen f(x_0) konvergiert. Das kann doch nicht so schwer sein.

Anzeige

20.11.2013, 16:34

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe es einfach nicht Q.Q

mir fällt keine Folge ein, die für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert und gleichwohl für
f(0) den Funktionswert 0 besitzt.

Denn spontane nullfolgen die mir einfallen wäre sowas wie 1/n was aber für f(0) nicht def. wäre.
oder e^-n was für f(0) jedoch nicht 0 wird

21.11.2013, 09:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Evilberry
mir fällt keine Folge ein, die für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert und gleichwohl für
f(0) den Funktionswert 0 besitzt.

Hier ist schon ein grundlegendes Verständnisproblem. Du sollst dir nicht eine Nullfolge ausdenken und für diese dann zeigen, daß die Funktionswerte gegen Null konvergieren, sondern du mußt zeigen, daß dies für alle nur denkbaren Nullfolgen gilt. Außerdem: was soll die Aussage "und gleichwohl für f(0) den Funktionswert 0 besitzt" ? Darum geht es doch gar nicht. f(0) ist laut Definition der Funktion gleich Null. Daran gibt es nichts zu rütteln.

Zitat:

Original von Evilberry
Denn spontane nullfolgen die mir einfallen wäre sowas wie 1/n was aber für f(0) nicht def. wäre.

Auch dieser Satz offenbart eine falsche Denkrichtung. f(0) ist definiert (siehe oben). Also du kannst gerne mal mit der Folge x_n = 1/n prüfen, ob die Folge f(x_n) gegen f(0) = 0 konvergiert.

21.11.2013, 15:11

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

Also 1/n konvergiert für n -> unendlich gegen 0 und somit auch gegen f(0) nämlich 0
also ist auch f an der Stelle x_0 stetig?

21.11.2013, 15:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Evilberry
Also 1/n konvergiert für n -> unendlich gegen 0 und somit auch gegen f(0)

Ob 1/n gegen f(0) konvergiert, ist nicht die Frage. Die Frage ist, wohin f(1/n) konvergiert.

Ergänzend: selbst wenn du den Grenzwert von f(1/n) kennst, ist damit noch nicht die Stetigkeit bewiesen. Die Stetigkeit verlangt (in diesem Fall), daß für alle Nullfolgen x_n, die Folge der Funktionswerte f(x_n) gegen f(0) konvergiert. Am Beispiel der Folge 1/n sollst du erstmal üben, wie man denn den Grenzwert der Folge f(1/n) bestimmen könnte.

21.11.2013, 16:01

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

f(1/n) konvergiert für n gegen unedndlich doch auch gegen 0 oder

21.11.2013, 16:34

Donquixote

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wiederhole mal, was klarsoweit zum Ausdruck bringen wollte und meiner Meinung auch getan hat.
Wir wollen die Stetigkeit der Funktion f nachweisen. Dazu benutzen wir das Folgenkriterium, welches in diesem Falle fordert:
Für jede Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} f(x_n)\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ gelten.
Also: Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine beliebige Nullfolge. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x_n)=x_n e^{-\frac{1}{x_n^2}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt nur noch mit den Grenzwertsätzen argumentieren...

21.11.2013, 16:40

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

f(1/n) : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} * e^{\frac{1}{\frac{1}{n}^{2} } } \end{eqnarray*}$

und für n gegen unendlich läuft der Term auch gegen 0 => in x_0 Stetig

21.11.2013, 16:44

Donquixote

Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt jetzt $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , das heißt $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist nicht mehr beliebig. Dass der Grenzwert gegen 0 geht für diese Folge reicht nicht aus, um Stetigkeit nachzuweisen. Es muss auch für alle anderen gelten

21.11.2013, 16:55

Evilberry

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok.

Also ich jedes X_n als eine Nullfolge und setzte das in f(x) ein.

Nun kann ich Argumentieren , dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)=x_n e^{-\frac{1}{x_n^2}} \end{eqnarray*}$
auch gegen 0 konvergiert, da jedes X_n eine Nullfolge ist und wir somit eine Multiplikation
mit Faktor 0 haben, außerdem läuft der e^x Term für ein Beliebig großes n gegen e^-unendlich was auch wiederum 0 ist.

korrekt?

21.11.2013, 17:02

Donquixote

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Aus $\begin{eqnarray*} x_n\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{x_n^2}}\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\longrightarrow\infty \end{eqnarray*}$ .
Und damit haben wir gezeigt, dass die Funktion f an der Stelle 0 stetig ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »