Newton-Verfahren, Konvergenz dritter Ordnung

20.11.2013, 14:58	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren, Konvergenz dritter Ordnung Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ dreimal stetig differenzierbar, $\begin{eqnarray} f(\xi )=0,f'(\xi )\neq 0 \end{eqnarray}$ . Zeige für die Newtoniterierten $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x_{k+1}-\xi = c(x_k-\xi)^2+o(\|x_k-\xi\|^2) \end{eqnarray}$ . Unter welcher Bedingung an viermal stetig differenzierbares $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist das Newton-Verfahren von dritter Ordnung konvergent? Meine Ideen: Zum ersten: Taylorentwicklung liefert $\begin{eqnarray} 0=f(\xi )=f(x_k)+f'(x_k)(\xi -x_k)+\frac{f''(x_k)}{2}(\xi -x_k)^2+\frac{f'''(\eta )}{6}(\xi -x_k)^3 \end{eqnarray}$ , also durch Umstellen nach $\begin{eqnarray} x_k-\xi \end{eqnarray}$ und Einsetzen von $\begin{eqnarray} x_k=x_{k+1}+\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x_{k+1}-\xi = \frac{f''(x_k)}{2f'(x_k)}(\xi -x_k)^2+\frac{f'''(\eta )}{6f'(x_k)}(\xi -x_k)^3 \end{eqnarray}$ D.h. bei mir wäre $\begin{eqnarray} c=\frac{f''(x_k)}{2f'(x_k)} \end{eqnarray}$ abhängig von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , und ich bin mir auch nicht sicher, ob der zweite Summand $\begin{eqnarray} o(\|x_k-\xi\|^2) \end{eqnarray}$ ist. Bin noch etwas unsicher, was die Anwendung von Taylor angeht... Zum zweiten: In der Vorlesung wurde bewiesen, dass ein Verfahren genau dann von p-ter Ordnung ist, wenn für die Verfahrensfunktion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \phi '(\xi )=...=\phi^{(p-1)}(\xi )=0,\phi^{(p)}\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich das auf die Verfahrensfunktion des Newton-Verfahrens anwende, führt das erst mal zu langwierigen Rechnungen und dann (wenn ich mich nicht verrechnet habe) zu $\begin{eqnarray} f'(\xi )\neq 0,f''(\xi )=0,f'''(\xi )\neq 0 \end{eqnarray}$ . Stimmt das?
21.11.2013, 19:08	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß das keiner?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »