Epsilon Umgebung und Schranke einer Folge

20.11.2013, 15:22	Eisbergsalat	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon Umgebung und Schranke einer Folge (A) Für $\begin{eqnarray} {n \to \infty} \end{eqnarray}$ habe ich den Grenzwert $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ bestimmt. Jetzt soll ich sagen ab welchem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sich die Folge bis auf 0,01 dem Grenzwert genähert hat. Dafür bin ich wie folgt vorgegangen: $\begin{eqnarray} \| \frac{3n-1}{n+1} - 3 \|< \varepsilon \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \| \frac{3n-1-3(n+1)}{n+1} \| < 0,01 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \| \frac{3n-4-3n}{n+1} \| < 0,01 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \| \frac{-4}{0,01} \| < n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 399 < n \end{eqnarray}$ Durch den Betrag ist die Lösung doch positiv oder? und was schreibe ich zu so einer aufgabe als antwortsatz? (B) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} -5 \end{eqnarray}$ eine untere Schranke ist. 1. Fall: $\begin{eqnarray} \frac{3n+1}{n-2} \geq -5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3n+1 \geq -5(n-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3n+1 \geq -5n + 10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8n \geq 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \geq 1,125 \end{eqnarray}$ 2. Fall: Falls $\begin{eqnarray} n<3 \end{eqnarray}$ , ergibt das: $\begin{eqnarray} n \leq 1,125 \end{eqnarray}$ (C) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ keine obere Schranke ist. 1. Fall, falls $\begin{eqnarray} n>2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3n+1}{n-2} \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3n+1 \leq 2(n-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3n+1 \leq 2n - 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5n \leq -5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \leq -1 \end{eqnarray}$ 2. Fall: Falls $\begin{eqnarray} n<3 \end{eqnarray}$ , ergibt das: $\begin{eqnarray} n \geq -1 \end{eqnarray}$ Ich habe für diese Aufgaben keine Lösungen und ich kenn auch niemanden der mir in dieser Sache helfen kann. Bitte sagt mir doch jemand ob a) die vorgehensweise richtig ist, b) wo denn eventuelle Fehler sind und was ich falsch mache und c) was mir die Ergenisse sagen, bzw. wie ich denn eine Antwort formuliere. DANKE!
20.11.2013, 16:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (A) Hatten wir das nicht schon im alten Thread, in dem von Dir übrigens noch eine Reaktion auf die Monotoniefrage offen ist. Zu (B) Bist Du dir sicher, dass das die richtige Folge ist? Für n=2 ist die gar nicht definiert. Zu (C) Siehe oben
20.11.2013, 17:06	Eisbergsalat	Auf diesen Beitrag antworten »
(b) und (c) sind eigenständige aufgaben. zu (a) hab ich mich im alten Thread geäußert
20.11.2013, 17:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir Rechnung stimmt soweit, wäre aber schneller über die (ebenfalls im anderen Thread von HAL genannten) Zerlegung $\begin{eqnarray} \frac{3n+1}{n-2}=3+\frac 7{n-2} \end{eqnarray}$ erledigt gewesen.
20.11.2013, 17:43	Eisbergsalat	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das aber doch mit meiner langen methode berechne (ich habs überall in den unterlagen nur so gefunden und mir daher so gemerkt) , ist die fallunterscheidung wegen des nenners schon nötig oder ? einmal ist n ja kleiner und einmal größer als 1,125 - wieso beweist das, dass -5 ne untere schranke ist?
20.11.2013, 17:45	Eisbergsalat	Auf diesen Beitrag antworten »
denn diese zerlegung verstehe ich nämlich leider gar nicht, wie kommst du auf die 7 etc?
Anzeige

21.11.2013, 17:54	Eisbergsalat	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das aber doch mit meiner langen methode berechne (ich habs überall in den unterlagen nur so gefunden und mir daher so gemerkt) , ist die fallunterscheidung wegen des nenners schon nötig oder ? einmal ist n ja kleiner und einmal größer als 1,125 - wieso beweist das, dass -5 ne untere schranke ist? diese zerlegung verstehe ich nämlich leider gar nicht, wie kommst du auf die 7 etc?
23.11.2013, 06:14	Ici_Paris_XI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz einfach ! $\begin{eqnarray} \dfrac{3n+1}{n-2}= \dfrac{3(n-2+2)+1}{n-2}=\dfrac{3(n-2)+7}{n-2}=\dfrac{3(n-2)}{n-2}+\dfrac{7}{n-2} =3+\dfrac{7}{n-2} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »