Verteilung, Verteilungsfunktion

20.11.2013, 16:25

1nstinct

Verteilung, Verteilungsfunktion

Hallo zusammen,

Ich habe ein paar grundlegende Fragen bezüglich Verteilungen, Verteilungsfunktionen, Dichten und ähnlichem.

Stimmen folgende Aussagen? (in stetigen WS-räumen)

1) Eine Verteilung einer Zufallsvariablen ist eine Mengenfunktion, der Definitionsbereich ist die Sigma-Algebra, der Zielbereich [0,1].

2) Wenn ich die 1-dim. Borelmenge, also Intervalle, als Simga-Algebra hernehmen, gibt die Verteilung die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Zufallsvariable X einen Wert aus diesem Intervall annimmt.

3) Die Verteilungsfunktion an einer Stelle t gibt die WS aus, mit welcher X<=t ist.

Zu guter letzt habe ich folgende Aufgabe:

Die ZV $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ habe die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot e^{-ax}\cdot \chi _{(0,\infty}(x) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Berechne die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y=min(X,K) \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist die Lebensdauer einer Glühbirne und sie wird spätestens zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ausgetauscht.

Wo genau liegt hier Unterschied zwischen Verteilung und Verteilungsfunktion?

Es gilt doch allgemein: (Sei $\begin{eqnarray*} P^Z \end{eqnarray*}$ die Verteilung zu ZV $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ die Dichte, $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion)

$\begin{eqnarray*} P^Z([a,b])=P(Z\in [a,b])=\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

Daher ist doch die Verteilung an einer Stelle immer Null.

Oder soll ich hier doch die Verteilungsfunktion ausrechnen.

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen, MfG

20.11.2013, 16:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1nstinct
1) Eine Verteilung einer Zufallsvariablen ist eine Mengenfunktion, der Definitionsbereich ist die Sigma-Algebra, der Zielbereich [0,1].

Konkret ist diese Mengenfunktion das sogenannte Verteilungsmaß $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ , was ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Borel-Sigma-Algebra ist. Das ist gewissermaßen die primäre Bedeutung, wenn man von "Verteilung" spricht. Allerdings ist das Verteilungsmaß bereits eindeutig bestimmt durch die Angabe der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(t):=P_X((-\infty,x]) \end{eqnarray*}$ , weshalb man öfters auch spricht "die Verteilung ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} F_X(t)=\ldots \end{eqnarray*}$ ".

Und in Spezialfällen ist die Verteilungsfunktion wiederum eindeutig charakterisiert durch die Dichte (bei stetigen Verteilungen), durch Einzelwahrscheinlichkeiten (bei diskreten Verteilungen), wodurch man auch bei letzteren manchmal schlicht von "Verteilung" spricht.

Kurzum: Alle Daten, die irgendwie geeignet sind in eindeutiger Weise das Verteilungsmaß $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ festzulegen, werden unter dem Überbegriff "Verteilung" gebündelt.

Nach diesem längeren Exkurs kann ich mich bei den anderen Fragen kürzer fassen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von 1nstinct
2) Wenn ich die 1-dim. Borelmenge, also Intervalle, als Simga-Algebra hernehmen, gibt die Verteilung die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Zufallsvariable X einen Wert aus diesem Intervall annimmt.

Wenn du Verteilung im Sinne Verteilungsmaß meinst (s.o.): Ja.

Zitat:

Original von 1nstinct
3) Die Verteilungsfunktion an einer Stelle t gibt die WS aus, mit welcher X<=t ist.

Ja, s.o.: $\begin{eqnarray*} F_X(t) = P_X((-\infty,t]) = P(X\leq t) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 1nstinct
Die ZV $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ habe die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot e^{-ax}\cdot \chi _{(0,\infty}(x) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Berechne die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y=min(X,K) \end{eqnarray*}$ .

[..]

Wo genau liegt hier Unterschied zwischen Verteilung und Verteilungsfunktion?

Wie ich oben sagte: Such dir was geeignetes aus - in dem Fall würde die Angabe der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y \end{eqnarray*}$ vollstens genügen!

Die Dichte indes kannst du für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gar nicht angeben: Denn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist keine (rein) stetige Zufallsgröße, denn es gilt ja z.B.

$\begin{eqnarray*} P_Y(\{K\}) = P_X([K,\infty)) > 0 \end{eqnarray*}$ ,

was bei stetigen Zufallsgrößen nicht passieren darf, dort haben Einzelpunkte immer Wahrscheinlichkeit Null. Augenzwinkern

20.11.2013, 17:06

1nstinct

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Hallo HAL,

Vielen lieben Dank für deine Hilfe.

Meine Verteilungsfunktion sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} x\in [0,K): \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_Y(x)=\int_{-\infty}^xa\cdot e^{-at}\chi_{(0,K)}(x)dt=\int_0^xa\cdot e^{-at}dt=-a^2(e^{-ax}-1) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F_Y(x)=1\, \text {für}\, x\geq K \end{eqnarray*}$

MfG

20.11.2013, 17:11

HAL 9000

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Das Integrieren müssen wir wohl noch ein wenig üben? Augenzwinkern

In der oberen Zeile muss am Ende $\begin{eqnarray*} 1-e^{-ax} \end{eqnarray*}$ stehen, genau wie bei der Exponentialverteilung, d.h., das $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ muss weg.

20.11.2013, 17:26

1nstinct

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Ich hatte mich natürlich verschrieben Augenzwinkern

Vielen Dank nochmals.

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