Punkt im Einheitsquadrat, Verteilungs- und Dichtefunktion bestimmen

20.11.2013, 16:40

Lula90

Punkt im Einheitsquadrat, Verteilungs- und Dichtefunktion bestimmen

Hey, folgende Aufgabe sollte ich lösen(und habe es hoffentlich geschafft):

Ein Punkt $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ wird zufällig im Einheitsquadrat $\begin{eqnarray*} [0,1]^{2} \end{eqnarray*}$ gewählt und die Summe $\begin{eqnarray*} s=a+b \end{eqnarray*}$ ausgegeben. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)= \mathbb{P}(a+b\leq x) \end{eqnarray*}$ und daraus die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Gesucht ist also: $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(x\leq y)=\mathbb{P}({(a,b)\in [0,1]^{2} : a+b\leq y}) \end{eqnarray*}$
Für mein festes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sind alle Punkte $\begin{eqnarray*} (a,b) \in[0,1]^{2} \end{eqnarray*}$ Element der Fläche $\begin{eqnarray*} A_{y} \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} b\leq min(\frac{y}{a},1) \end{eqnarray*}$ gilt, weil genau für die Punkte $\begin{eqnarray*} a+b\leq y \end{eqnarray*}$ .
Aus folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} b_{y}(a)=\left\{\begin{matrix} 1: 0 \leq a \leq y\\ \frac{y}{a} : y < a \leq 1 \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$
hab ich das hier berechnet:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(A_{y})= Flaeche(A_{y})= \int_{0}^{1} b_{y}(a)da =\int_{0}^{y} 1da + \int_{y}^{1} \frac{y}{a}(a)da = y - y ln y \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} F(y)=\left\{\begin{matrix} 0: y \leq 0 \\ y-y ln y: 0 < y \leq 1 \\ 1: y > 1\\ \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Die Ableitung der Verteilungsfunktion ist ja die Dichtefunktion, also:
$\begin{eqnarray*} f(y)=F'(y)=\left\{\begin{matrix} -ln y: 0 < y \leq 1 \\ 0: sonst \\ \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Falls nicht, wo ist mein Fehler, oder wo fängt er an? Augenzwinkern

Danke schonmal!

20.11.2013, 19:28

Lula90

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Keiner kann helfen?

20.11.2013, 20:18

HAL 9000

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In der Aufgabenstellung sprichst du von der Summe, d.h. $\begin{eqnarray*} P(a+b\leq x) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man sich deinen Lösungsvorschlag so anschaut, dann sieht es eher danach aus, als geht es um das Produkt, also $\begin{eqnarray*} P(a\cdot b\leq x) \end{eqnarray*}$ . Es wäre ganz nett, wenn du dich entscheiden könntest, was du eigentlich betrachten willst...

20.11.2013, 21:12

Lula90

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Oh da hab ich meine zettel durcheinander gebracht. ich will wirklich bei der summe bleiben, nicht beim produkt.

also nochmal:

Aus folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} b_{y}(a)=\left\{\begin{matrix} 1: 0 \leq a \leq y\\ y-a : y < a \leq 1 \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$
hab ich das hier berechnet:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(A_{y})= Flaeche(A_{y})= \int_{0}^{1} b_{y}(a)da =\int_{0}^{y} 1da + \int_{y}^{1} y-a da = (y)+(-0,5y^{2}+y-0,5)=2y-0,5y^{2}-0,5 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} F(y)=\left\{\begin{matrix} 0: y \leq 0 \\ 2y-0,5y^{2}-0,5: 0 < y \leq 1 \\ 1: y > 1\\ \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$
(Hier bin ich mir gar nicht sicher ob die einschränkungen stimmen)

20.11.2013, 21:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lula90
$\begin{eqnarray*} b_{y}(a)=\left\{\begin{matrix} 1: 0 \leq a \leq y\\ y-a : y < a \leq 1 \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? Ich habe das so verstanden, dass du mit $\begin{eqnarray*} b_y(a) \end{eqnarray*}$ die Länge des Intervalls aller derjenigen $\begin{eqnarray*} b\in [0,1] \end{eqnarray*}$ meinst, für die $\begin{eqnarray*} a+b\leq y \end{eqnarray*}$ ist - und das hat gewiss nicht diese Darstellung: Für $\begin{eqnarray*} 1\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$ wäre das eher

$\begin{eqnarray*} b_y(a) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\, 0\leq a\leq y-1 \\ y-a & \;\mbox{für}\, y-1\leq a\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq y<1 \end{eqnarray*}$ sieht die Formel aber anders aus. Du kannst das auch gleich geometrisch im Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ machen, schließlich ist das im wesentlichen nur ein Dreieck (bzw. abgetrenntes Dreieck).

20.11.2013, 21:46

Lula90

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{eqnarray*} 1\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$ wäre das eher

$\begin{eqnarray*} b_y(a) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\, 0\leq a\leq y-1 \\ y-a & \;\mbox{für}\, y-1\leq a\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} 1\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$
Mein Tutor hatte uns schon den Tipp gegeben, folgende Fälle getrennt zu betrachten:
$\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 1\leq y\leq 2 2<x \end{eqnarray*}$
Da hatte ich es schon nicht verstanden.... verwirrt

20.11.2013, 21:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lula90
Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} 1\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$

Y kann nun mal nur Werte zwischen 0 und 2 annehmen. Und wenn du dir endlich mal eine ordentliche Skizze machst, dann wirst du sehen, dass die Fälle y<1 und y>1 durchaus verschieden zu behandeln sind.

20.11.2013, 22:22

Lula90

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ok, mach sinn wenn 1+1=2 ist... Hammer

$\begin{eqnarray*} b_{y}(a)=\left\{\begin{matrix} 0: 0 \leq y \leq 1 \\ y-a: 1 < y \leq 2 \\ 1: 2 < y\\ \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$
?

21.11.2013, 09:48

HAL 9000

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Na so stimmt's schon wieder nicht. Für $\begin{eqnarray*} 0\leq y<1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} b_y(a) = \begin{cases} y-a & \;\mbox{für}\, 0\leq a\leq y \\ 0 & \;\mbox{für}\, y\leq a\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

und den anderen Fall hatte ich ja schon aufgeschrieben:

Zitat:

Man kann das zwar beides in einer gemeinsamen Formel für alle reellen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unterbringen

$\begin{eqnarray*} b_y(a) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\, 0\leq a\leq \min\{1,y-1\} \\ y-a & \;\mbox{für}\, \max\{0,y-1\}\leq a\leq \min\{1,y\} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

aber die ist nicht unbedingt verständlicher. Augenzwinkern

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