Rationale zwischen reellen Zahlen

20.11.2013, 17:20

voodoo666

Rationale zwischen reellen Zahlen

Hi. Verzweifle hier komplett an einer Ana Übungsaufgabe. Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} a, b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$
Es soll $\begin{eqnarray*} q\in Q \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} a<q<b \end{eqnarray*}$ .

Ich will das selbstständig beweisen bräuchte jedoch einen stoß in die richtige Richtung da ich keine Ahnung habe wie man das beweisen könnte.

Bitte um tipps. Danke im vorraus Freude

20.11.2013, 18:42

kgV

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Welche Zahl liegt denn zwischen 4 und 5? Welche zwischen 5 und 6? Kannst du das verallgemeinern auf beliebige Zahlen a und b?

Lg
kgV
Wink

20.11.2013, 18:56

Dopap

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ein wenig diffizieler kann es schon werden:

Man muss vor allem auch sowas wie $\begin{eqnarray*} e<c<\pi \end{eqnarray*}$ im Auge behalten. Das arithmetische Mittel c muss nicht rational sein.

20.11.2013, 19:01

kgV

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Darauf wollte ich kleinschrittig hinaus smile

Details via PN

20.11.2013, 19:32

voodoo666

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Zitat:

Welche Zahl liegt denn zwischen 4 und 5? Welche zwischen 5 und 6? Kannst du das verallgemeinern auf beliebige Zahlen a und b?

Lg
kgV

Über das arithmetische Mittel hab ich natürlich schon nachgedacht.
$\begin{eqnarray*} \frac{(4+5)}{2} \in Q \end{eqnarray*}$
Nur was mach ich wenn ich z.b. eine Rationale Zahl zwischen 1,99 und 1,999 suche? Dann seh ich mit dem arithmetischen Mittel ja ziemlich alt aus, habe dann im Nenner ne reelle Summe und keine ganze Zahl, sprich keine rationale Zahl zwischen a und b. Ich könnte prinzipiell ja einfach erweitern mit 10^x/10^x wobei x die Anzahl der Stellen hinterm Komma des Zählers ist, dann hätte ich ja reintheoretisch wieder einen Bruch welcher Element der Rationalen Zahlen ist oder? Nur wie verallgemeiner ich das :/ Bewege ich mich in die richtige Richtung?

Zitat:

Original von Dopap
ein wenig diffizieler kann es schon werden:

Man muss vor allem auch sowas wie $\begin{eqnarray*} e<c<\pi \end{eqnarray*}$ im Auge behalten. Das arithmetische Mittel c muss nicht rational sein.

Da weiss ich echt nicht weiter wie man das angehen könnte.

Danke schonmal für die Tipps!

20.11.2013, 19:40

kgV

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Mit dem arithmetischen Mittel wird es schon warm, und mit Erweitern glühend heiß Augenzwinkern

Archimedische Anordnung ist das Stichwort. Die dürft ihr doch verwenden, oder? Wenn ja, dann überleg dir mal, wann sicher eine ganze Zahl zwischen zwei reellen Zahlen liegt

20.11.2013, 19:49

Dopap

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Zitat:

Original von voodoo666
Nur was mach ich wenn ich z.b. eine Rationale Zahl zwischen 1,99 und 1,999 suche? Dann seh ich mit dem arithmetischen Mittel ja ziemlich alt aus ...

Das verstehe ich nicht verwirrt

20.11.2013, 21:25

voodoo666

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von voodoo666
Nur was mach ich wenn ich z.b. eine Rationale Zahl zwischen 1,99 und 1,999 suche? Dann seh ich mit dem arithmetischen Mittel ja ziemlich alt aus ...

Das verstehe ich nicht verwirrt

Bilde ich das arithmetische Mittel von 1,99 und 1,999 hab ich:
(1,99+1,999)/2 = 3,989/2
3,989 ist keine ganze Zahl und somit ist das wie es bei uns in der VL definiert wurde keine rationale Zahl. Das meinte ich!

Zitat:

Mit dem arithmetischen Mittel wird es schon warm, und mit Erweitern glühend heiß Augenzwinkern
Archimedische Anordnung ist das Stichwort. Die dürft ihr doch verwenden, oder? Wenn ja, dann überleg dir mal, wann sicher eine ganze Zahl zwischen zwei reellen Zahlen liegt

Archimedische Anordnung sagt mir spontan nichts. Wir hatten das archimedische Axiom.

20.11.2013, 21:44

kgV

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Zunächst mal: $\begin{eqnarray*} \frac{3,989}2=\frac{\frac{3989}{1000}}2=\frac{3989}{2000} \end{eqnarray*}$ ist sehr wohl rational...

Dann: passt, das ist dasselbe wie die archimedische Anordnung:

Bedenke jetzt mal $\begin{eqnarray*} a<\frac pq<b\Rightarrow aq<p<bq \end{eqnarray*}$ Wann gilt hier, dass p sicher eine ganze Zahl sein kann?
Wie können wir hier das archimedische Axiom ins Spiel bringen?
Das besagt ja: $\begin{eqnarray*} x,y\in K, x>0\Rightarrow\exists n\in\mathbb N:n\cdot x>y \end{eqnarray*}$ , K ist hierbei ein angeordneter Körper

21.11.2013, 21:22

jan21

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Sei $\begin{eqnarray*} q = \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} a < \frac{b}{a} < b \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} a^2 > b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 < a \end{eqnarray*}$ . Für a gilt dann $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , da keine negativen a zugelassen sind. Aus der obigen Aussage gilt ja $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Ist das also okay so?

21.11.2013, 22:55

kgV

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Das $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ist da (gewissermaßen) impliziert, sonst könnte man mit einem Beispiel ja die Dichtheit ganzer Mengen beweisen: $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}<3<\pi \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Macht keinen Sinn, oder? Augenzwinkern

Außerdem ist mir nicht ganz klar, wie du auf die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a<\frac ba \end{eqnarray*}$ kommst. Die gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} a^2<b \end{eqnarray*}$ , was nicht aus $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ folgt.

In Summe: leider nein, dein Beweis passt nicht. Hier führt kein mir bekannter Weg um die archimedische Anordnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ herum

Btw: bist du identisch mit dem Fragesteller? Oder versuchst du dich aus Interesse an dem Beweis. Wenn letzteres der Fall ist, warte bitte, bis der Thread abgeschlossen ist, oder schreib mir eine PN smile

21.11.2013, 23:00

jan21

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Okay, entschuldige. Nein, ich bin nicht der ursprüngliche Fragestelle. Werde mich dann wahrscheinlich nochmal bei dir melden.

21.11.2013, 23:05

kgV

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Halb so wild smile

Melde dich ruhig smile

Der Thread gehört aber (vorerst, sollte er noch Interesse zeigen) voodoo666

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Rationale zwischen reellen Zahlen

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