Ebene in Koordinatenform

20.11.2013, 20:22

Erdbeere123

Ebene in Koordinatenform

Wenn ich eine Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandle, warum beschreibt dann die Koordinatenform immer noch eine Ebene ?

Irgenwie verstehe ich nicht, wie ich mir das vorstellen soll.

Ich hab dann ja sowas wie:

3x1+2x2+5x3=10

Wobei (3,2,5)^T der Normalenvektor ist.

Man könnte das ganze also auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also steht der Vektor senkrecht auf meiner ebene.

Warum aber habe ich eine Ebne ? Die Ebene muss ja irgendwie bei der 10 fixiert sein, egal was ich für x einsetze.

20.11.2013, 20:58

Bürgi

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RE: Ebene in Koordinatenform
Guten Abend!

1. In der Zahl 10 versteckt ist der Abstand des Ursprungs von der Ebene.

2. Stell Dir einen Stockschirm vor. Das Dach des Regenschirms ist die Ebene E. Deren Lage im Raum wird nur von dem Stock bestimmt, der im Ursprung anfängt und (hoffentlich) senkrecht auf den Schirm zeigt. Die Länge des Stockes wird durch die konstante Zahl bestimmt. (Die Zahl gibt nicht die Länge des Stockes an, sondern einen Bruchteil der tatsächlichen Länge).

20.11.2013, 22:07

Erdbeere123

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Okay danke schonmal. Ich bin mir unsicher ob ich´s ganz verstanden habe aber ich denke zumindest ein wenig.

20.11.2013, 22:24

Erdbeere123

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Aber x1,x2,x3 geben sozusagen nur die länge des Stocks an nicht aber die position ?
Die ja eh egal wäre, denn durch das gleichtszeichen liegt die ebene ja flach und grade.

Also mir ist klar, dass wenn der stock immer noch senkrecht zur ebene ist, das eben ein Punkt auf der Ebene sein muss.
Alle anderen punkte die nicht den gleichen abstand haben, gehören eben nicht mehr dazu.

Also geht die Koordinaten (oder normalenform) von abständen aus um eine Ebene zu beschreiben ?

21.11.2013, 00:54

Dopap

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Zitat:

Original von Erdbeere123
Also geht die Koordinaten (oder normalenform) von abständen aus um eine Ebene zu beschreiben ?

Nein. Die Vektorenschreibweise $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \bullet \vec x =10 \end{eqnarray*}$

bedeutet: zur Lösungsmenge gehören alle OrtsVektoren $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , deren Skalarprodukt mit dem Normalenvektor = 10 ergibt.

Dass das eine Ebene ist , ergibt sich aus der Linearität, so wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} x_1^2-2x_2x_3=66 \end{eqnarray*}$ bestimmt keine Ebene

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