Monotonie und strenge Monotonie |
| 20.11.2013, 22:11 | graws | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Monotonie und strenge Monotonie Hallo! Ich verstehe den Unterschied zwischen streng monoton fallend / steigend und monoton fallend / steigend nicht so recht. Meine Ideen: Irgendwo habe ich gelesen, dass man einfach die 1.Abl rausfinden muss und dann gucken muss, ob f'(x) <= bzw >= 0 oder nur < bzw >0 ist. Im ersten Fall ist das monoton und im zweiten Fall streng monoton. Aber irgendwie verstehe ich das nicht so recht, wann die null mit drin ist und wann nicht. Und was mache ich bei Funktionen, bei denen man (zumindest in der Schule) keine Abl bilden kann wie z.B. 2^x? |
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| 20.11.2013, 22:31 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: worin liegt der Unterschied? Du kannst dir Monotonie auch am Graphen der Funktion anschauen: Wenn die Funktion steigt, d.h. die Funktionswerte (y-Werte) mit steigendem x immer größer werden, ist die Funktion streng monoton wachsend. Typisches Beispiel ist z.B. die Funktion f(x) = 2x. streng monoton wachsend heißt also auch wenn dann ist auch . Dies erkennst du, wenn die Ableitung immer positiv (größer Null) ist. Ebenso kannst du dir streng monoton fallend mit abnehmenden Funktonswerten vorstellen. Nun gibt es auch Funktionen, deren Funktionswert immer größer wird, jedoch in einem Abschnitt konstant bleibt (aber nicht fällt). Das Kriterium für streng monoton wachsend ist in dem konstanten Abschnitt nicht erfüllt. (Der Graph der Funktion verläuft waaagrecht). In einem solchen Fall sagt man, die Funktion ist immer noch monoton wachsend. Die Ableitung der Funktion darf dann auch Null sein. Dies bedeutet:Jede streng monoton wachsende Funktion ist auch monoton wachsend. D.h. bei der Ableitung darf bei monoton wachsenden Funktionen ein Wert - die Null - dazu kommen. Edit: Tippfehler |
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| 20.11.2013, 22:54 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: worin liegt der Unterschied?
Dazu vielleicht noch eine Ergänzung: Wenn die Ableitung nur an einem einzelnen Stelle 0 ist, und rechts/links daneben wieder größer 0, ist es trotzdem streng monoton wachsend. Sie muss also nicht immer positiv sein. Z.B. Da ist die Ableitung an der Stelle 0 f'(0)=0. Trotzdem ist die Funktion f streng monoton steigend. |
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| 20.11.2013, 23:02 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: worin liegt der Unterschied? @10001000Nick1 Danke für die Ergänzung. Ich habe versucht, die Erklärung anschaulich zu halten. Diese Unschärfe ist mir dabei entgangen. |
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