Geradengleichung - kürzester Abstand zu einem Punkt im R³

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Geradengleichung - kürzester Abstand zu einem Punkt im R³
Moin,

die Frage ist: Wie groß ist der geringste Abstand zwischen der Geraden G und dem Punkt P, wenn folgendes gilt:

Die Gerade ist:

Der Punkt ist:

1. Die Menge aller Differenzvektoren zwischen dem Punkt P und der Geraden G ist:


2. Die Länge (Betrag) aller dieser Abstände ist:




Bis hier ist das soweit klar. Was ich jetzt nicht verstehe ist, warum man nun folgendes machen kann:

3.
Was für eine Operation ist das? Um die Wurzel zu entfernen hätte ich beide Seiten quadriert. Dann sähe das aber so aus:


4. Ab hier ist es dann wieder klar: Ableiten und 0 setzen. Daraus erhält man t und mit dieses t kann man dann einfach in die Geradegleichung einsetzen. Daraus erzält man dann den Punkt auf der Gerade, dann die Differenz des Ortsvektors dieses Punktes mit dem Ortsvektor von Z bilden und den Betrag berechnen.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Da wurden nicht beide Seiten quadriert.

Man hat einfach eine Funktion d definiert durch
Dort, wo diese Funktion ein Minimum annimmt, muss dann auch ein Minimum annehmen.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das schon verstanden, was das bedeutet. Aber das man das so machen kann, wusste ich nicht.

Ich dachte eigentlich immer, dass alles in Form von Äquivalenzumformungen nachvollziehbar sein müsste. Das ist ja hier nicht ganz der Fall. Findest du nicht?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch keine Äquivalenzumformung.

Du könntest jetzt theoretisch einfach als Funktion nehmen und davon das Minimum bestimmen. Aber das wird sicher etwas komplizierter wegen der Wurzel.

Deswegen hat man definiert (das hat wie gesagt nichts mit einer Äquivalenzumformung zu tun) und hat dann davon das Minimum bestimmt. Und wenn an einer Stelle ein Minimum hat, und der Funktionswert dort größer gleich 0 ist, dann muss dort natürlich auch ein Minimum haben.

Jetzt klarer? smile
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ja besten Dank. Das versteht man smile
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