normale Körper

21.11.2013, 14:51	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
normale Körper Meine Frage: Ist folgende Körpererweiterung normal? Und zwar $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7(X)/\mathbb{F}_7(X^3) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Vermutung ja: Also brauche ich doch ein Polynom in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7(X^3) \end{eqnarray}$ dessen Zerfällungskörper $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7(X) \end{eqnarray}$ ist... Tut mir leid so ne richtige Idee hab ich da nicht.
21.11.2013, 15:35	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das naheliegende wäre wohl das Min.pol von X....
21.11.2013, 16:10	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ja und das ist dan $\begin{eqnarray} Y^3-X^3 \end{eqnarray}$ oder wie, das ist ja gerade mein problem
21.11.2013, 16:20	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es als Polynom in $\begin{eqnarray} \mathbb F _7(X^3) [Y] \end{eqnarray}$ auffasst dann ja. Die Bestimmung der Nullstellen zeigt unter anderem, dass das Polynom irreduzibel ist.
21.11.2013, 17:01	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Und weil dann die Nullstelle $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7(X) \end{eqnarray}$ liegt und $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7(X)/\mathbb{F}_7(X^3) \end{eqnarray}$ endlich ist, ist dann $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7(X) \end{eqnarray}$ Zerfällungskörper von dem Polynom und die Erweiterung normal
21.11.2013, 17:30	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde mir als Begründung nicht ausreichen. Was ist mit den anderen Nullstellen des Polynoms? Warum ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 (X) \end{eqnarray}$ der kleinste Körper, in dem das polynom zerfällt.
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21.11.2013, 17:55	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Wären das dann nicht die komplexen Einheitswurzeln und dann ist es ja doch nicht der Zerfällungskörper
21.11.2013, 17:59	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf komplexe Einheitswurzeln? Komplexe Zahlen haben hiermit überhaupt nichts zu tun. (Wir sind ja in einem Körper mit Charakteristik 7). Man kann die anderen beiden Nullstellen konkret (und eigentlich auch ziemlich leicht) angeben und die liegen im oberen Körper der Körpererweiterung.
21.11.2013, 18:03	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
dann sowas wie $\begin{eqnarray} X^8 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^{15} \end{eqnarray}$ ?
21.11.2013, 18:10	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, und das sieht man doch auch sofort Du hast hier ein Polynom dritten Grades mit einer bekannten Nullstelle. Polynomdivision anwenden und man hat ein polynom zweiten Grades. Dafür gibt's eine Lösungsformel. So was lernt man doch schon in der Schule. P.S. Was du eventuell meinst: Der kleine fermat gilt nur die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ , aber nicht für Variablen (warum auch?), $\begin{eqnarray} X^p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sind verschiedene Polynome auch wenn sie aufgefasst als Polynomfunktionen gleich sein mögen.
21.11.2013, 18:12	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry stand jetzt echt aufm schlauch

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