Flächeninhalt mit Kurvenintegral (Satz von Gauß) berechnen

21.11.2013, 17:39	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt mit Kurvenintegral (Satz von Gauß) berechnen Hallo, ich möchte folgende Aufgabe berechnen: Gegeben sei die Astroide $\begin{eqnarray} C:=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2;x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1\right\} \end{eqnarray}$ mit der Parametrisierung $\begin{eqnarray} \varphi:[0,2\pi)\rightarrow \mathbb R^2, \quad \varphi (t)=\cos ^3(t),\sin ^3(t) \end{eqnarray}$ . Berechne den Flächeninhalt des von der Kurve eingeschlossenen ebenen Bereich mit einem Kurvenintegral unter Anwendung des Gaußschen Satzes. Meine Idee: Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ lautet der Gaußsche Satz $\begin{eqnarray} \iint_D rot \vec{f}(\vec{x}) d\vec{x}=\oint_{\gamma}\vec{f}(\vec{x})d\vec{s} \end{eqnarray}$ Da es stückweise glatt sein muss, würde ich das in 4 Integrale unterteilen, so dass man die Abschnitte $\begin{eqnarray} <br /> \left [0,\frac{\pi}{2}\right],\left[\frac{\pi}{2},\pi \right],\left[\pi,\frac{3\pi}{4}\right],\left[\frac{3\pi}{4},2\pi\right] \end{eqnarray}$ erhält. Ich muss also jetzt 4 verschiedene (bzw. gleiche) Integrale der Form $\begin{eqnarray} \oint_{\gamma}\vec{f}(\vec{x})d\vec{s}=\int\left<\vec{f}(\gamma (t)),\dot \gamma (t)\right >dt \end{eqnarray}$ berechnen. Das war so jetzt meine Idee, die komplett falsch sein kann. Abgesehen davon, dass ich jetzt auch nicht mehr weiter weiß. Wenn mir da jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar. Gruß Xbf
21.11.2013, 21:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Zeug mit rot und div mochte ich noch nie. Stutzig macht mich, daß wir hier im Zweidimensionalen sind und du von Rotation sprichst. Wie soll das gehen? Ich arbeite lieber mit Differentialformen. Hier ist es $\begin{eqnarray} \omega = x ~ \dd y \end{eqnarray}$ Die äußere Ableitung ist nämlich $\begin{eqnarray} \dd \omega = \dd x \wedge \dd y \end{eqnarray}$ Und beim Integral ist $\begin{eqnarray} \dd \omega \end{eqnarray}$ gerade das euklidische Volumenelement. Nach dem Satz von Stokes (entspricht hier dem Satz von Green) gilt daher $\begin{eqnarray} \int_A \dd \omega = \int_{\partial A} \omega \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist der von der Astroide umschlossene Bereich gemeint, mit $\begin{eqnarray} \partial A \end{eqnarray}$ die Astroide selbst. Damit kann der Flächeninhalt mit einem Kurvenintegral berechnet werden: $\begin{eqnarray} \int_A \dd x \wedge \dd y = \int_{\partial A} x ~ \dd y \end{eqnarray}$ Wenn man $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x = \cos^3 t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = \sin^3 t \end{eqnarray}$ zurückholt, erhält man $\begin{eqnarray} x ~ \dd y = \cos^3 t \ \ ~ \dd \left( \sin^3 t \right) = 3 \cos^4 t \cdot \sin^2 t ~ \dd t \end{eqnarray}$ und für das Kurvenintegral somit: $\begin{eqnarray} \int_{\partial A} x ~ \dd y = \int_0^{2 \pi} 3 \cos^4 t \cdot \sin^2 t ~ \dd t \end{eqnarray}$ Dieses Integral berechnet den Flächeninhalt der Astroiden. Jetzt schau selbst zu, wie du das in die Sprache der Vektoranalysis übersetzt bekommst (Satz von Green). Vielleicht $\begin{eqnarray} \vec{f}(x,y) = (0,x) \end{eqnarray}$ ?

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