Gruppen(Aussagen beweisen/widerlegen)

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silverjack Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen(Aussagen beweisen/widerlegen)
Hallo Zusammen,
wir haben gerade mit dem Thema Gruppen angefangen und ich habe wohl schon zu beginn leichte Verständnisprobleme...

folgende Hausaufgabe:

Im Folgenden sei (G;* ) eine Gruppe mit neutralem Element e \in G. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) \exists h \in G \foall g \in G : h*g=e


Was ich weiß:
Ich kenne die vier Axiome und hab mir zb. überlegt das ganze mit Inversion zu beweisen, wenn ich für h = 2^-1 und für g=2 einsetze, dann würde es auf die Definition zutreffen und somit wäre die Aussage korrekt.

Was ich nicht weiß:
Nur komme ich jetzt zu meinem erste Verständnisproblem und zwar weiß ich nicht welche Zahlen zu G gehören. Sind es natürliche Zahlen oder ganze Zahlen und welchen Ansatz muss ich hier für das Beweisen solcher Aussagen anwenden ?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du nochmal die Aufgabe a) posten? Ich weiß nicht, ob ich das richtig lese.
Die Gruppe ist nicht weiter spezifiziert. Du weißt nicht, welche Elemente in der Gruppe sind. Du kannst nur mit den Gruppenaxiomen argumentieren.
 
 
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Okay gut zu wissen.. Ehm ja irgendwie hat der Formeleditor nicht funktioniert, ich fasse das mal in Worte.

Im Folgenden sei (G;*) eine Gruppe mit neutralem Element e element G. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a) Es gibt ein h element G für alle g element G: h*g=e

ich hoffe das kann man verstehe, ansonsten kann ich es noch einscannen.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe löst sofort ein Gruppenaxiom. Welches?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Meintest du das?


Damit bin ich auch wieder weg.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry jetzt verstehe ich das erst unglücklich
Da kann man ein Gegenbeispiel zu finden
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Inverses Axiom: h*g=e=g*h ?

ja das meinte ich @ nick1
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst ein h finden, sodass für alle g aus G: h*g=e. Suche nach einem Gegenbeispiel (es ist quasi die zuerst eingeführte Gruppe mit Namen)
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

h = e/g
da ich weiß, dass e=1 hab ich dann h=g^-e ... jetzt setze ich das oben ein

g^-e*g = e das ist doch jetzt mein Inverse element Axiom.

Ich weiß einfach nicht wie ich ansetzen soll.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Wir gehen jetzt zu einem konkreten Beispiel über und zwar zu der Gruppe, die von den ganzen Zahlen mit der üblichen Addition gegeben ist. Das neutrale Element ist dann selbstverständlich die null.
Findest du ein mit ?
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

ja und zwar jede zahl aus Z kann ich da einsetzen, wobei z wäre dann die inverse von h, dann würde immer 0 rauskommen
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein Unterschied, ob nach
1) oder
2) gefragt wird.
Es kommt auf die Reihenfolge der Quantoren an!
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

ahh mist, ja sorry... es gibt kein h für das alle z element Z die Aussage gelten würde, zumindest finde ich keins. und bei meinem beispiel gibts auch kein h
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle h element G gibt es ein g element G : h*g=e ist das der gegenbeweis ? weil ich 0 =h nicht einsetzen kann.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Das genannte Gegenbeispiel reicht doch völlig aus, um die Aussage zu wiederlegen verwirrt
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, hat mir echt geholfen !

Aber woher weiß man, wann man widerlegt oder beweist. Oder bekommt man da ein Auge für nach einiger Übungszeit ?

PS: Ich glaub die b) hab ich jetzt auf anhieb gelöst.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, findest du auf Anhieb kein Gegenbeispiel, dann würde ich versuchen, die Aufgabe zu beweisen. Aber das ist meine Herangehensweise.
Kannst sie ja posten.
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

g G h G: g*h*g^-1


für g*g^1 hab ich e eingesetzt, weil das ein axiom ist. Müsste doch stimmen oder ?

g * h * g^-1 = e * h = h = h * e
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da keine Aussage. Bitte vollständig die Aufgabe angeben. Außerdem ist es leserlicher wenn du alles in den tags setzt, also auch die g's usw. und die -1 in geschweifte Klammern {} setzt.
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »








Invers-Axiom
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

c)





Kann ich bei dieser Aufgabe zb. für g*h=z einsetzen ? Weil die Klammer kann ich ja auch weglassen, dann könnte ich auf der rechten und linken Seite gh mit z ersetzen und so zum Ass..-Axiom kommen oder ?

Sorry, dass ich so viele Fragen habe, irgendwie bin ich immer unsicher bei den Aufgaben. Ich will mich die nächsten Zeit mal ausschließlich mit Beweisen beschäftigen, damit ich es mal im Schlaf kann oder zu mindest davon träume =)

PS: Die Aufgabe eins drüber ist b)
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht immer noch keine Aussage!
Was ist mit g*h*g^{-1}? Soll das wieder in G liegen? Ich wiederhole mich nur ungern, aber bitte die Aufgabe vollständig posten.
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Im Folgenden sei (G;*) eine Gruppe mit neutralem Element e element G. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

Mehr steht da auch nicht, und dann halt die Aufgaben a-e, die ich oben dazu geschrieben habe. Laut Definition oben, ist h und g element aus G. Mehr gibts hier nicht verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ist keine Aussage. Ob davor noch irgendwas mit Quantoren steht ist dabei wurscht. Ist das so schwer zu begreifen? Eine Aussage wäre beispielsweise o.ä..
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

=h fehlte noch, sorry mein fehler... ist schon spät und ich rechne schon seit ein paar stunden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es besteht also die Behauptung für eine beliebige Gruppe G:


Darf ich das so verstehen? Dies gilt aber nicht in dieser Allgemeinheit, sondern nur für abelsche Gruppen. Oder ist es eine Zusatzbedingung an G, dass sie abelsch ist?
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine ablsche Gruppe ist das nicht. Ich glaube das würde sonst explizit drauf stehen. Steht nur Gruppe mit neutralem element e aus G, beweisen oder widerlegen der Aussagen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du siehst hoffentlich, dass die Behauptung darauf hinausläuft, dass die Gruppe abelsch ist.
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich kann nicht erkennen, dass die Aussage kommutativ ist, ist denn mein Beweis oben falsch ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von silverjack
Tut mir leid, ich kann nicht erkennen, dass die Aussage kommutativ ist, ist denn mein Beweis oben falsch ?


Eine Aussage kann nicht kommutativ sein. Du meinst wohl was Anderes. Multipliziere mal von rechts ein g an die Gleichung, dann siehst du die Kommutativität.

Welcher Beweis? Ich sehe keinen bzw. das, was du oben geschrieben hast, soll was beweisen? Ich finde, gar nichts.
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, also ich hab mir gedacht, ich setzte voraus, dass (G,*) eine Gruppe ist. Und nun muss ich die Aussage so darstellen, dass ein zutreffendes Axiom zu sehen ist. Oder muss ich es für alle 4 Axiome zeigen, damit die Aussagen stimmt ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Aussage stimmt einfach nicht, zumindest nicht generell, sondern nur für abelsche Gruppen, wie ich jetzt schon mehrfach geschrieben habe.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm also eine beliebige nicht-abelsche Gruppe und konstruiere ein Gegenbeispiel.
silverjack Auf diesen Beitrag antworten »

g*g*h*g^{1}=h*g
g*h=h*g ?? (Kom)


Ich glaub ich gebs für heute auf, ich bin nicht mehr in der Lage zu denken.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

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