Elliptische Kurven: Wie den Punkt der Unendlichkeit determinieren?

21.11.2013, 21:00

pablosen

Elliptische Kurven: Wie den Punkt der Unendlichkeit determinieren?

Guten Abend

Wenn ich eine elliptische Kurve habe gegeben durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y^2=x^3+ax+b \end{eqnarray*}$ (*). Wie bestimme ich dann den Punkt der Unendlichkeit?

Ich weiss, dass ich bei anderen Formen, wo 3 Variablen x,y und z vorkommen ich jeweils die im Koordinatensystem nicht vorkommende Variable =0 setzen muss. Meist ist das dann z=0. Und dann hat man den Punkt der Unendlichkeit.

Wie macht man das aber, wenn eine elliptische Kurve wie oben angegeben bei (*) vorgegeben ist?

Grüsse

21.11.2013, 21:36

Captain Kirk

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Guten Abend,

das hängt stark davon ab wie elliptische Kurven eingeführt würden, bzw. was ihr darunter versteht.

Manchmal führt man sie als alle Nullstellen (im entsprechenden Körper/Ring) plus einen sogeanannten Punkt im Unendlichen. Dann ist dieser schlicht vorgegeben.

Fast man elliptische Kurven als projektive Kurven auf, so hat die Kurve genau einen unendlich fernen Punkt. Diesen kann man bestimmen indem man das homogenisierte Polynom betrachtet und auf der unendlich fernen Gerade Z=0 sucht.

Vielleicht verstehe ich die Frage auch falsch, denn begriffe wie "Punkte... determinieren" und "Punkt der Unendlichkeit" sagen mir gar nichts.

21.11.2013, 21:53

pablosen

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Hallo Captain.

Ja, das war gemeint:

Zitat:

Original von Captain KirkFast man elliptische Kurven als projektive Kurven auf, so hat die Kurve genau einen unendlich fernen Punkt. Diesen kann man bestimmen indem man das homogenisierte Polynom betrachtet und auf der unendlich fernen Gerade Z=0 sucht.

Wie geht das?

Ich betrachte $\begin{eqnarray*} f(x,y):=y^2-x^3-ax-b \end{eqnarray*}$ und die elliptische Kurve ist dann $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ . Homogenisiert heisst also, ich betrachte entweder y oder x als Konstante.

Wie suche ich nun die unendlich ferne Gerade?

21.11.2013, 22:13

Captain Kirk

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Du multiplizierst solange jedes Monom mit z bis alle Monome den gleichen Grad haben.

Formal:
Ist $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb K[x_1, \ldots x_n] \end{eqnarray*}$ mit d= deg(f) so ist $\begin{eqnarray*} x_0^df(\frac{x_1}{x_0}, \ldots , \frac{x_n}{x_0}) \end{eqnarray*}$ die Homogenisierung von f.
Im zweidimensionalen Fall verwendet man gern statt der projektiven Koordinaten $\begin{eqnarray*} [x_0 : x_1 :x_2] \end{eqnarray*}$ gern $\begin{eqnarray*} [X:Y:Z] \end{eqnarray*}$ (man beachte die Vertauschung der Reihenfolge)

Die unendlich ferne Gerade ist nicht zu suchen, die ist Z=0.
Gesucht sind die Punkte von E auf der Geraden, sprich $\begin{eqnarray*} E \cap \{Z=0\} \end{eqnarray*}$

23.11.2013, 12:40

pablosen

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Zitat:

Du multiplizierst solange jedes Monom mit z bis alle Monome den gleichen Grad haben.

Also ist
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z):=y^2*z-x^3-ax*z^2-b*z^3 \end{eqnarray*}$ korrekt?

Dann wäre aber der unendliche Punkt bei x=0? Also bei $\begin{eqnarray*} y^2=b? \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Was ist falsch?

23.11.2013, 18:59

Captain Kirk

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Das homogene Polynom ist richtig.

Was du danach schreibst versteh ich nicht.
Es wär evtl. nützlich die letzten beiden Zeilen meines letzten Posts zu lesen.

24.11.2013, 16:56

pablosen

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$\begin{eqnarray*} f(x,y,z):=y^2*z-x^3-ax*z^2-b*z^3 \end{eqnarray*}$

Dann setze ich z=0 :

$\begin{eqnarray*} f(x,y,0):=y^2*0-x^3-ax*0-b*0 \end{eqnarray*}$ und kriege also

$\begin{eqnarray*} f(x,y,0)=-x^3=0 \end{eqnarray*}$ ? Und wie ist nun der Punkt der Unendlichkeit zu bestimmen?

[0,y] und was ist y? einfach beliebig???

25.11.2013, 21:14

pablosen

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$\begin{eqnarray*} f(x,y,0)=-x^3=0 \end{eqnarray*}$ ?

Wie ist hier nun der Punkt der Unendlichkeit zu bestimmen?

25.11.2013, 21:35

Captain Kirk

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Ich weiß nach wie vor nicht, was der Punkt der Unendlichkeit ist.
Könntest du mir diese Begrifflichkeit erklären?

in deinem zweiten Post zitiertest du unter anderem dies:

Zitat:

Fast man elliptische Kurven als projektive Kurven auf,

und sagtest das sei gemeint.
Daraufhin ging ich davon aus, dass die entsprechenden Begrifflichkeiten bekannt sind.
Auch schrieb ich später noch von proj. Koordinaten.
Da du nicht weiter nachfragtest ging ich davon aus, dass diese Begriffe bekannt sind.

Offensichtlich ist dies nicht der Fall.

Schlage die Begriffe nach.

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