Matrix mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen

22.11.2013, 14:07	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen Meine Frage: Hallo, ich möchte für eine $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ -Matrix A mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , die invertierbar ist, zeigen, dass $\begin{eqnarray} A^{-1} \in Mat_n(\mathbb Z)\Rightarrow det(A) \in \left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Die andere Richtung habe ich schon gezeigt, aber bei dieser fehlt mir der Ansatz. Hättet ihr vielleicht einen Tipp? Danke schon mal.
22.11.2013, 14:52	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen Hallo lagrange92, Falls A, B Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, dann ist (offensichtlich) det(A) bzw. det(B) in Z. Und es gilt allgemein det(AB) = det(A)det(B). lg PS: Die andere Richtung hast du vermutlich über die Adjunkte gemacht? Oder gibt es da auch ein anderes, einfaches Argument?
22.11.2013, 15:23	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen Ich habe nur das Problem , wenn ich $\begin{eqnarray} det(A)det(A^{-1}) \end{eqnarray}$ betrachte, dass dies keine eindeutige Aussage liefert, da det (A) und die det des Inversen gerade multiplziert eins ergeben, wegen $\begin{eqnarray} det(A)\frac{1}{det(A^{-1})} =1 \end{eqnarray}$ . Es könnte aber det(A)=8 sein und man erhielte auch 1. Verstehe ich da irgendetwas falsch?
22.11.2013, 15:32	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen Es gilt 1=det(E)=det(AA^(-1)) = det(A)det(A^(-1)). Ich verstehe nicht, wo bei dir dieser Bruch herkommt?
22.11.2013, 15:44	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen Der folgt direkt aus deiner Darstellung, denn $\begin{eqnarray} 1=det(E)=det(AA^{(-1)}) = det(A)det(A^{(-1)})=det(A)\frac{1}{det(A)} =1 \end{eqnarray*}$ und deshalb bin ich verwirrt. Wobei ich unten aus Versehen das Inverse unter den Bruch geschrieben habe, sorry. Ich habe es etwas anders gelöst, danke für deine Hilfe.

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