Nicht-Stetigkeit zeigen

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qbert Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-Stetigkeit zeigen
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die Funktion , gegeben durch := 1, falls x >= 0, anderfalls -1
im Punkt a = 0 nicht stetig ist. Skizzieren Sie den Graphen von ?.


Meine Ideen:
Wir haben über das Thema Stetigkeit eine Vorlesung bisher gehabt.
Ich nehme an die griechischen Buchstaben sollen mich lediglich verwirren?
Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Ich dachte Stetigkeit sei gegeben, wenn die Funktion an jeder Stelle definiert ist. Der Punkt a = 0 soll x = 0 sein? Da hat die Funktion einen Wert von 1.
Der Graph sollte so aussehen, das man links von der 0 eine konstante Gerade bei -1 hat, und ab dem Punkt 0 eine Konstante von +1. Ist das nicht stetig..?

Danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht-Stetigkeit zeigen
Zitat:
Original von qbert
Ich dachte Stetigkeit sei gegeben, wenn die Funktion an jeder Stelle definiert ist.

Nein, das reicht bei weitem nicht. Dann wäre ja jede Funktion stetig. Big Laugh

Zitat:
Original von qbert
Der Punkt a = 0 soll x = 0 sein?

Was willst du damit sagen? verwirrt

Zitat:
Original von qbert

Der Graph sollte so aussehen, das man links von der 0 eine konstante Gerade bei -1 hat, und ab dem Punkt 0 eine Konstante von +1. Ist das nicht stetig..?

Weitestgehend schon. Die Frage ist nur, was mit der Stelle x=0 ist. Augenzwinkern
qbert Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Ich habe mir die Definitionen nochmal angeschaut und ein bisschen darüber nachgedacht.

Wenn ich zeige, das der linksseitige Grenzwert ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, dann habe ich die Unstetigkeit bewiesen?
Also der limes von <=a = -1 der linkswertige Grenzwert und limes von > a = 1.
Wobei a = 0. Da die beiden Limités nicht gleich sind, ist die Funktion unstetig im Punkt a0.

Ist das richtig bzw. logisch? Ich habe einfach Probleme mit der allgemeinen Vorgehensweise. Ich bekomme einen Haufen von Sätzen und Definitionen, aber kein einziges anschauliches Beispiel.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von qbert
Wenn ich zeige, das der linksseitige Grenzwert ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, dann habe ich die Unstetigkeit bewiesen?

Ja.

Zitat:
Original von qbert
Also der limes von <=a = -1 der linkswertige Grenzwert und limes von > a = 1.
Wobei a = 0. Da die beiden Limités nicht gleich sind, ist die Funktion unstetig im Punkt a0.

Prinzipiell richtig. Bitte achte aber auf deine Formulierungen, daß diese nicht mißverständlich sind. Ich habe 5 Minuten gebraucht, bis ich verstanden hatte, was du eigentlich sagen willst.

Zitat:
Original von qbert
Ich bekomme einen Haufen von Sätzen und Definitionen, aber kein einziges anschauliches Beispiel.

Die anschaulichen Beispiele gab es auf der Schule. Aber diese Zeit ist vorbei. Big Laugh
qbert Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ist ein bisschen undeutlich formuliert. Kannst du mir sagen auf welche Art und Weise ich das korrekt hinschreiben kann?
in_line123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Schreib den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert hin und zeig, dass diese nicht gleich sind.

Dabei gehst du so vor, dass du schreibst:



Jetzt musst du nur noch a und b einsetzen, d.h. die Limites berechnen.
 
 
qbert Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das ganze auch mit der Definition von Stetigkeit zeigen? Habe das mit den rechtswertigen und linksseitigen Grenzwerten nämlich noch gar nicht gehabt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich geht das auch mit der Definition der Stetigkeit. Welche Variante ist dir bekannt?
qbert Auf diesen Beitrag antworten »

Das Epsilon-Delta-Lemma



Das zu verstehen und dann auch noch auf die Aufgabe anzuwenden wird allerdings schwierig für mich bis morgen.. (Abgabe)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Diese Definition sollte dir auch aus der Schule bekannt sein. Die Definition besagt eigentlich nur dieses:

Wenn mir jemand irgendein epsilon > 0 vorgibt (und das kann auch noch so klein sein), dann finde ich zu dem epsilon ein delta > 0, so daß die Funktionswerte f(x) für alle x mit a - delta < x < a + delta maximal den Abstand epsilon von dem Funktionswert f(a) haben. Schnoddrig gesagt: ich schaffe es immer, daß meine Funktionswerte "nahe" bei f(a) liegen und nicht irgendwann in der Nähe von a "wegspringen".

Für die Nicht-Stetigkeit mußt du nun ein epsilon > 0 finden, so daß es für alle delta > 0 ein x gibt mit
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