Varianz des bedingten Erwartungswerts abschätzen

22.11.2013, 14:34	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz des bedingten Erwartungswerts abschätzen Hallo zusammen, ich sitz mal wieder vor einer Aufgabe, bei der ich Eure Hilfe brauche. Ich schreib's erstmal schön auf und sag, was ich gemacht habe. Voraussetzung: $\begin{eqnarray} $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ \end{eqnarray}$ sei ein Maßraum und $\begin{eqnarray} $x,y \in L_{2}(\mathcal{A})$ \end{eqnarray}$ . Behauptung: $\begin{eqnarray} $var(x) \geq var (E[x\|y])$ \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} $z:=E[x\|y]$ \end{eqnarray}$ . Dann folgt nach Definition für den bedingten Erwartungswert, dass $\begin{eqnarray} $z$ \end{eqnarray}$ genau die Zufallsvariable ist mit: 1) $\begin{eqnarray} $\mathcal{A}_{z}= \{ z^{-1}(B) : B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \} \subset \mathcal{A}_{y}=\{ y^{-1}(B) : B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$ \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} $\forall T \in \mathcal{A}_{y}: E[E[x\|y][T]]=E[z[T]]=E[x[T]]$ \end{eqnarray}$ (wobei $\begin{eqnarray} $[T]$ \end{eqnarray}$ hier die Indikatorfunktion bezeichnet) Für $\begin{eqnarray} $T \in \mathcal{A}_{y}$ \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} $var(E[x\|y][T])=E[(E[x\|y][T]-E[E[x\|y]][T])]^{2}=E[(E[x\|y][T]-E[x][T])]^{2}$ \end{eqnarray}$ Und jetzt bräuchte ich eine Abschätzung, die mir $\begin{eqnarray} $E[x\|y][T] \leq x[T]$ \end{eqnarray}$ liefert und ich wäre fertig. Fällt Euch da was ein?
22.11.2013, 15:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt die Varianzzerlegung $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X) = E[\operatorname{var}(X \mid Y)] + \operatorname{var}(E[X \mid Y]) \quad () \end{eqnarray}$ wobei man die bedingte Varianz gemäß $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X \mid Y) := E[(X-E[X \mid Y])^2 \mid Y] = E[X^2 \mid Y] - (E[X \mid Y])^2 \end{eqnarray}$ berechnet - man sieht () am besten "von rechts nach links". Und deine Behauptung ist dann lediglich eine Folgerung aus (*).
23.11.2013, 18:22	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz des bedingten Erwartungswerts abschätzen Danke!

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