Konvergenz rekursiv def. Folge

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22.11.2013, 16:30	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz rekursiv def. Folge Hallo zusammen, Zu meinem Problem gehört die folgende Aufgabenstellung: Wir definieren eine reelle Zahlenfolge $\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N _{\geq 0}} \end{eqnarray}$ rekursiv durch $\begin{eqnarray} a_{0}:=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n+1}:=1+\frac{1}{a_{n} } \end{eqnarray}$ Konvergiert diese Folge? Falls ja, wie lautet der Grenzwert? Anleitung: Zeigen Sie sukzessive a) $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N_{\geq 0}: a_{n} \in \left[1,2\right] \end{eqnarray}$ . b) $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N_{\geq 0}: a_{2k}<a<a_{2k+1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a:=\frac{1+\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray}$ c) Die Folgen $\begin{eqnarray} \left(a_{2k} \right)_{k\in \mathbb N _{\geq 0}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(a_{2k+1} \right)_{k\in \mathbb N _{\geq 0}} \end{eqnarray}$ sind monoton. d) Für $\begin{eqnarray} a_{a} :=\lim_{k \to \infty } a_{2k+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{b} :=\lim_{k \to \infty } a_{2k} \end{eqnarray}$ schließen Sie $\begin{eqnarray} a_{a}=a=a_{b} \end{eqnarray}$ und daraus die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N _{\geq 0}} \end{eqnarray}$ . Die a) hab ich mehr oder weniger zeigen können, doch bei der b), die mir zunächst nicht als sonderlich schwer erschien, verzweifel ich seit einigen Tagen. Ich habe versucht es mit einer Indutkion zu zeigen. Mit $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ gilt die Voraussetzung ja, jedoch bin ich nicht in der Lage einen Sinnvollen Induktionsschritt durchzuführen. Ich habs mehrmals probiert, ob mit der kompletten Behauptung oder aufgeteilt in "a mit gradem Index sind kleiner", ich komme nicht weiter. Ich wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte! Natürlich will ich nicht nur irgendeine Lösung abschreiben, sondern am besten die Aufgabe soweit verstehen, dass ich die nächsten selber lösen kann. Danke schonmal!
22.11.2013, 17:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Letztendlich ist die b) auch eine Induktion. Aber die entscheidene Überlegung steckt nicht im Formalismus der Induktion, sondern in folgender Rechnung: $\begin{eqnarray} a_{n+1}-a = \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ Man muss diese Gleichheit nur noch richtig "lesen", dann hat man eigentlich direkt die Behauptung.
22.11.2013, 18:26	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wenn ich das für den Induktionsschritt benutze komme ich zu $\begin{eqnarray} a_{n+1}<a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}-a<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_{n} } -\frac{1}{a} <0 \end{eqnarray}$ und das gilt nach Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray} a_{n} >a \end{eqnarray}$ . Soweit komm ich glaub ich mit. Allerdings frag ich mich wie man auf diese Gleichheit kommt? Also ich war bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_{n} }-a+1 \end{eqnarray}$ aber die Umformung zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_{n} }-\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ versteh ich dann leider nicht?
22.11.2013, 18:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray} a-1=\frac{1}{a} \end{eqnarray}$
22.11.2013, 18:43	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das konnte ich mit nem taschenrechner grade auch feststellen, ist das den irgendetwas, worauf ich aus der Aufgabenstellung kommen kann? Oder erfordert das einfach n Tick Genialität in dem moment so einen Zusammenhang zu sehen? Also verstanden hab ich die Lösung komplett, mich interessiert nur noch, wie ich nächste mal selber darauf kommen kann! Danke für die Hilfe !!
22.11.2013, 18:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass Zahlen der Form $\begin{eqnarray} b+c\sqrt{d} \end{eqnarray}$ eine quadratische Gleichung erfüllen, sollte doch (aus der Schule) bekannt sein. Z.b. mit dem Satz von Vieta bekommt man auch schnell geschenkt, wie die quadratische Gleichung aussieht. In unserem Fall nunmal $\begin{eqnarray} a^2-a-1=0 \end{eqnarray}$ , was eben äquivalent zu der Gleichung aus meinem letzten Post ist.
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22.11.2013, 18:59	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder Vieta noch die eigenschaft dieser Zahlen hab ich je explizit gehört, aber vielen dank, hast mich n ganzes Stück weiter gebracht
23.11.2013, 02:52	Ici_Paris_XI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz rekursiv def. Folge edit von sulo: Komplettlösung aus 4 Beiträgen entfernt. Bitte beachte das Boardprinzip.
23.11.2013, 16:09	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt dreh ich mich bei der c) auch irgendwie im Kreis. Ich möchte zunächst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \left(a_{2k} \right)_{k\in \mathbb N _{\geq 0}} \end{eqnarray}$ eine monoton steigende Folge ist. Dazu hab ich den Ansatz gewählt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_{2k}-a_{2(k+1)}<0 \end{eqnarray}$ ist. umgeformt lande ich bei $\begin{eqnarray} \frac{a_{2k}^{2}+a_{2k}+1 }{a_{2k}+1}<0 \end{eqnarray}$ . Ich schaffe die abschätzung leider nicht, weil ich nicht genau genug einbringen kann, dass $\begin{eqnarray} a_{2k}<a \end{eqnarray}$ ist. Wenn ich den Bruch aufteile oder mit Polynomdivision "vereinfache" habe ich je ein ausdruck der kleiner als a sein muss und einen der eben größer ist, was mir dann bei der Addition keine Hilfe ist. Hat jemand eine Idee dieses Problem zu umgehen? Danke schonmal !

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