Funktionenschar und Fläche

02.03.2007, 14:23

ddavid06

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Funktionenschar und Fläche

Hey,

also ich hab folgendes problem!!! Soll am dienstag folgende aufgabe vorstelllllen und ich habe ja keinen blassen schimmmmer!!! Bitte um HILFE=)

f mit schar t (x)=t - x²/t

f mit schar t (x)=t³ - tx² t element ]0;1]

Für welches "t" ist die eingeschlossene Fläche maximal?

bitte um hilfe!! Danke!!

mfg Inferno.

Bitte sinnvollen Titel und angemessene Zahl von Satzzeichen

02.03.2007, 14:28

tigerbine

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RE: Funktionenschar und Fläche
Zunöchst mal eine FRage zu deiner Funktionsdiskussion. Heißt die jetzt f oder t? verwirrt

verwirrt

Ich würde mal folgende Schreibweise vermuten:

$\begin{eqnarray*} f_t(x) =- \frac{1}{t}x^2 +t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_t(x)= -tx^2+t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in ]0,1] \end{eqnarray*}$

Des weiteren, um welche eingeschlossene Fläche solle s sich handeln. Die zwischen Graph und Koordinatenachsen, oder zwischen den beiden Funktionen?

02.03.2007, 14:30

Rare676

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Wenn die Fläche gemeint, die von den Graphen eingeschlossen wird, musst du die Schnittstellen der Funktionen berechnen und dann das Integral in abhängigkeit von t bestimmen.

Bei der Funktion die dabei rauskommt musst du die Ableitung bilden und den HP bestimmen

02.03.2007, 14:31

mYthos

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Die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen, ist schon mal nicht schlecht. Denn diese bestimmen ja die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche! Was denkst du, wie man da weiter vorgehen könnte?

mY+

02.03.2007, 17:44

ddavid06

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das ist schon mal gut!!! joah @ #2 so sollen die beiden funktionen aussehen:P....und es soll die fläche berechnet werden die die beiden funktionen einschliessen! ich werde die mal gleich setzen und dann schnittpunkte bestimmmen! Danke soweit erstmal=)

mfg Inferno.

02.03.2007, 17:49

tigerbine

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Beispiel für t=2

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04.03.2007, 12:36

ddavid06

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also....ich hab die mal gleich gesetzt aber da kommt am ende bei mir x² / x² alos fällt das x weg Oo....kann das einer mal nachrechnen und schaun ob ich dort einen fehler gemacht habe! Weil normalerweise kann das ja nicht sein !Dankeschööön!!

mfg Inferno

04.03.2007, 12:42

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f_t(x) =g_t(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{t}x^2 +t= -tx^2+t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t-\frac{1}{t})x^2 = t^3-t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}(t^2-1)x^2 = t(t^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in ]0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{für t=1 sind die Funktionen gleich} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{für }t \neq1 \text{ folgt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}x^2 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = t^2 \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 12:54

ddavid06

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hmm verstehe den 2ten schritt nicht so besonders...mit dem x² ausklammern aber naja is ja auch egal=) gut dann sind die gleich gesetzt dann folgt daraus x1=-t und x2=+t!!! was mache ich denn danach!?? ist das ab jetzt nicht sowas wie eine extremwertaufgabe denn ich soll ja was maximieren oder was soll ich jetzt machen?! versthe das von vorne und hinten nicht! der lehrer gab mir 2 folien mit weil das eine lange rechnung sein solll aber ich komm einfach nicht weiter!!!! Danke für jede Hilfe.

mfg Inferno.

04.03.2007, 13:04

tigerbine

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Wie bestimmt man den Flächen unter Graphen... Da war doch was mit dem Integral... Was haben die Schnittpunkte dabei für eine Rolle?... Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.03.2007, 13:06

ddavid06

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stimmmt schon das sind die grenzen=) alos soll man jetzt einfach die fläche zwischen den beiden integralen rechnen???
Ich mach es einfach mal wobei man hier g (x) - f (x) rechnen muss richtich??

mfg Inferno.

04.03.2007, 13:12

tigerbine

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Deine aussage macht soch so gar keinen Sinn. Du sollst die Fläche zwischen den Funktionen berechnen. D.h. den Absolunwert des Integrals der Diffenzfunktion.

$\begin{eqnarray*} |\int_{x_1}^{x_2}~f_t(x)-g_t(x)~dx| \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 13:13

ddavid06

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@ tigerbine=) danke soweit aber ist die funktion g (x) nicht grösser und deswegen muss man die - f(x) nehmen oder vertue ich mich??

mfg Inferno.

04.03.2007, 13:16

Bjoern1982

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Wegen den Betragsstrichen ist das egal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

04.03.2007, 13:19

ddavid06

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ahjaaaaaaaa stimmmmmmmmmmmmmmt=) Dankeschööööön!!

mfg Inferno.

04.03.2007, 13:37

ddavid06

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{t} \cdot x^{2}+t+t\cdot x^{2}-t^{3} \end{eqnarray*}$ folgende ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3t}\cdot{x³}+t\cdot{x}+t\cdot{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Bruch: \frac{}{}, Hoch: ^{}, Tief: _{}, Mal: \cdot

04.03.2007, 13:39

ddavid06

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ist von der funktion $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{t} \cdot x^{2}+t+t\cdot x^{2}-t^{3} \end{eqnarray*}$ folgende aufleitung $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3t}\cdot{x³}+t\cdot{x}+t\cdot{\frac{1}{3}}\cdot{x³}-t³\cdot{x} \end{eqnarray*}$
korrekt!!

mfg Inferno.

04.03.2007, 14:00

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} |\int_{-t}^{t} ~-\frac{1}{t}x^2 +t -(-tx^2+t^3) ~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\int_{-t}^{t} ~(-t+\frac{1}{t})x^2 +(t -t^3) ~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(-t+\frac{1}{t})\cdot[\frac{1}{3}x^3]_{-t}^t + (t-t^3)\cdot [x]_{-t}^t| \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 14:11

ddavid06

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gut hab dann folgenden ausdruck rausbekommen ----> = $\begin{eqnarray*} -2\cdot{\frac{t^{4}}{3}}+2\cdot{\frac{t²}{3}} \end{eqnarray*}$

puuuh...was ne arbeit danke tigerbine soweit aber ich bin doch noch nicht fertich! das ist jetzt der flächeninhalt in abhängigkeit von t und was mache ich nun???

mfg Inferno.

04.03.2007, 14:14

tigerbine

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Mal überlegen, für welches t er am größten wird. Also Ableiten, null setzen und amximum bestimmen.

04.03.2007, 14:32

Bjoern1982

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@ tigerbine

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\int_{-t}^{t} ~-\frac{1}{t}x^2 +t -(-tx^2+t^3) ~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\int_{-t}^{t} ~(-t+\frac{1}{t})x^2 +(t -t^3) ~dx| \end{eqnarray*}$

Hast du dich nicht hier mit den Vorzeichen vertan ?

Gruß Björn

04.03.2007, 14:37

ddavid06

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gut hab den ausruck jetzt 2 mal abgeleitet!
Notwendige Bedingung:
1.Ableitung = 0

=> $\begin{eqnarray*} t_{1} \end{eqnarray*}$ =0 ; $\begin{eqnarray*} t_{2} \end{eqnarray*}$ = -wurzel aus 0,5 und $\begin{eqnarray*} t_{3} \end{eqnarray*}$ = +wurzel aus 0,5

Hinreichende Bedingung:
2.Ableitung unglecih 0

$\begin{eqnarray*} f^{''} \end{eqnarray*}$ (0) = $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ => lok. Minimum

$\begin{eqnarray*} f^{''} \end{eqnarray*}$ (-wurzel aus 0,5) = $\begin{eqnarray*} -\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ => lok. Maximum

$\begin{eqnarray*} f^{''} \end{eqnarray*}$ (+wurzel aus 0,5) = $\begin{eqnarray*} -\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ => lok. Maximum

also gibt es 2 maxima. und nun? Sag bitte du hasst dich nicht vertan=) Danke soweit!!

mfg Inferno.

04.03.2007, 14:40

tigerbine

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und wenn du jetzt nochmal an den Anfang der aufgbae schaust, wirs du sehen, welches der beiden Maxima das Richtige ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.03.2007, 14:42

ddavid06

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das positive ist richtich odeR?????? also +wurzel aus 0,5

mfg Inferno.

04.03.2007, 14:44

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} t \in ]0,1] \end{eqnarray*}$

Mehr sag ich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.03.2007, 14:51

ddavid06

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also entweder ich bin verblödet oder ich vestehe es gerade gar nicht:P es steht doch nicht aller reelen zahlen also muss es + $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ sein!!! jetzt musst du mir noch n kleinen tipp geben falls ich falsch liege:P

mfg Inferno.

04.03.2007, 15:06

tigerbine

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Ich hab dir doch die antwort gegeben. t muss aus dem Intervall ]0,1] stammen. Was ist daran unklar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Liegt denn da jetzt $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5} \end{eqnarray*}$ drinne oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.03.2007, 15:17

ddavid06

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hehe also ich denke immer noch dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ drinne liegt=) gut aber dann habe ich noch 2kleine fragen?=) oben hat jemand gefragt ob da bei der umformung nicht 1 vorzeichen fehler aufgetreten ist???? und für meine aufgabe heisst das jetzt falls das richtich ist dass man für einen maximalen flächeninhalt t= $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ wählen muss, korrekt?

mfg Inferno.

04.03.2007, 15:20

tigerbine

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Also wenn du dich nicht verrechnet hat, dann ist das t so richtig. Hab ich auch nie anders behauptet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum Nachrechnen fehlt mir jetzt die Zeit, schaue aber gegen abend nochmal drüber.

04.03.2007, 15:22

ddavid06

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ok vielen dank tigerbine=) bin das erste mal in so einem mathe forum und finde es echt superklasse dass sofort hilfe da ist=) echt mal sehhhhhhhr empfehlenswert=)....danke nochmal!!! bis dahin

mfg Inferno.

04.03.2007, 17:35

tigerbine

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Also, jetzt rechne ich nochmal in Ruhe. Danns ehen wir auch, ob ich da das die Vorzeichen vertauscht habe.

$\begin{eqnarray*} f_t(x) =- \frac{1}{t}x^2 +t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_t(x)= -tx^2+t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in ]0,1] \end{eqnarray*}$

1. Schnittpunkte

$\begin{eqnarray*} f_t(x) =g_t(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{t}x^2 +t= -tx^2+t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t-\frac{1}{t})x^2 = t^3-t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}(t^2-1)x^2 = t(t^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in ]0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{für t=1 sind die Funktionen gleich} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \text{für }t \neq1 \text{ folgt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t}x^2 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm ~t \end{eqnarray*}$

2. Differenzfunktion

$\begin{eqnarray*} d(x):=f_t(x) - g_t(x) = (- \frac{1}{t}x^2 +t) - (-tx^2+t^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(x) = (t-\frac{1}{t})x^2 + (t-t^3) \end{eqnarray*}$

Danke Bjoern Mit Zunge

Mit Zunge

3. Integral berechnen - Fläche

$\begin{eqnarray*} A(t):= |\int_{-t}^{t}~d(x) ~dx =\int_{-t}^{t}~ (t-\frac{1}{t})x^2 + (t-t^3)| dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|(t-\frac{1}{t})\cdot[\frac{1}{3}x^3]_{-t}^{t} + (t-t^3)\cdot[x]_{-t}^{t}|= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|(t-\frac{1}{t})\cdot \frac{1}{3}\cdot(t^3+t^3) + (t-t^3)\cdot(t+t)| = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|\frac{1}{3}(2t^4-2t^2) +2t^2-2t^4| = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|-\frac{4}{3}t^4+\frac{4}{3}t^2|=|\frac{4}{3}\cdot t^2 \cdot (1 - t^2)| \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} t \in ]0,1] \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} A(t) = \frac{4}{3}t^2-\frac{4}{3}t^4 \end{eqnarray*}$

4. Extremwerte bestimmen

$\begin{eqnarray*} A'(t) = \frac{8}{3}t - \frac{16}{3}t^3 = \frac{8}{3}\cdot t\cdot (1 - 2t^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0 \end{eqnarray*}$

So, jetzt müßte es stimmen Wink

Wink

04.03.2007, 17:56

ddavid06

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hihi das ist ja komisch!!!! ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

aber vielen lieben dank dass du das nocheinmal komplett durch gerechnet hasssssst!!!!! :********** Augenzwinkern

Augenzwinkern

....also danke nochmal!! tschauuuuuuuuu

mfg Inferno.

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