Grenzwertsätze

22.11.2013, 19:32

sartari

Grenzwertsätze

Hallo allerseits

die zu besprechende Aufgabe findet ihr im Anhang. Mir ist klar, dass ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ umstellen kann, das Ergebnis in der Aufgabe also falsch ist.

Mir ist nur nicht klar, warum man die Umformung, die dort gemacht wird nicht machen kann?

Viele Grüße und danke im Voraus

22.11.2013, 20:38

klauss

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RE: Grenzwertsätze
Das Problem der gegebenen Argumentation scheint mir darin zu bestehen, dass man die n in Zähler und Nenner unterschiedlich schnell laufen läßt. D. h. das $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ im Nenner ist schon bei $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ angekommen, während man im Zähler noch die (endliche) n-te Partialsumme stehen hat.

Es ist zu bedenken, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sum\limits_{i=1}^n i} {{n^2} } = \textquotedblright \frac{\infty }{\infty } \textquotedblright \end{eqnarray*}$

23.11.2013, 10:53

sartari

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Ja, so habe ich mir das auch vorgestellt, allerdings: wie hebe ich das auf eine vernünftige mathematische Argumentation?

Und warum lassen sich die Grenzwertsätze also nicht anwenden, schließlich ist die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_n+b_n=a+b \end{eqnarray*}$ doch nicht verletzt, oder?

23.11.2013, 11:00

Iorek

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Du missachtest die Voraussetzungen der Grenzwertsätze. Diese sind nur für endlich viele (konvergente) Folgen formuliert. Hier werden es aber mehr als nur endlich viele werden.

23.11.2013, 11:39

sartari

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Ich versteh's immer noch nicht völlig. Die Definition der Grenzwertsätze sieht bei uns so aus:
Seien $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ zwei Zahlenfolgen mit $\begin{eqnarray*} a_n\rightarrow a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \rightarrow b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: *Aufzählung der Grenzwertsätze*

Woraus ergibt sich die Endlichkeit und wie zeige ich, dass die Anzahl der Folgen nicht endlich ist?

23.11.2013, 11:57

Iorek

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Zitat:

Original von sartari
Seien $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ zwei Zahlenfolgen mit $\begin{eqnarray*} a_n\rightarrow a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \rightarrow b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: *Aufzählung der Grenzwertsätze*

Zwei Zahlenfolgen sind definitiv endlich viele. Das lässt sich auf beliebig viele, aber immer noch endlich viele Folgen verallgemeinern (z.B. $\begin{eqnarray*} a_n+b_n+c_c=\underbrace{(a_n+b_n)}_{=d_n}+c_n=d_n+c_n \end{eqnarray*}$ und darauf passt die Formulierung der zwei Folgen).

Was ergibt sich nun bei deiner Folge für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Du bekommt unendlich viele Summanden, die sich auch mit viel Klammersetzung nicht zu endlich vielen Summanden zusammenfassen lassen. Also ist eine Anwendung der Grenzwertsätze nicht möglich.

23.11.2013, 18:45

sartari

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Das heißt auch in der Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n^2})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n^2})\cdot ...\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n^2})=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{x^n}{n!})=\frac{x\cdot ...\cdot x}{\lim_{n\rightarrow\infty}n!}=0 \end{eqnarray*}$

sind so nicht anwendbar, oder?

23.11.2013, 22:29

Iorek

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Ja, auch da wären die Grenzwertsätze nicht anwendbar. Zwar kommt in beiden Fällen das korrekte Ergebnis raus, das ist aber nur zufällig so.

Ein besseres Beispiel: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n=\lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac 1n)\cdot\dots\cdot(1+\frac 1n)=1\cdot\dots\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$ , was dem wohlbekannten Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac 1n)^n=e \end{eqnarray*}$ widerspricht. Auch hier hat man es mit unendlich vielen Faktoren zu tun, also sind die Grenzwertsätze nicht anwendbar.

24.11.2013, 13:02

sartari

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Super, danke für die schnelle Antwort, dann noch eine Frage zu dem ersten Beispiel von oben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n^2})^n\stackrel{Bernoulli Ungleichung}>\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{n}{n^2})=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})=1 \end{eqnarray*}$

Würde ja so nicht ausreichen, oder? Schließlich schätze ich ab, bräuchte aber doch eigtl noch eine Grenze in die andere Richtung?

24.11.2013, 14:07

sartari

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einfach $\begin{eqnarray*} (1)^n\geq(1-\frac{1}{n^2})^n>(1-\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(1)^n=1=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n^2})^n=1 \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2013, 10:43

sartari

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ich push das Ganze mal, hoffe das geht in Ordnung

26.11.2013, 10:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von sartari
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(1)^n=1=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n^2})^n=1 \end{eqnarray*}$ ?

Ist ok (Sandwich-Satz). smile

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