Reihenfolge bei Gaußmatrix? R³

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenfolge bei Gaußmatrix? R³
Hallo,

zwei Ebenen im R³ sollen untersucht werden:






1. Beim Test auf Lineare Abhängigkeit zwischen dem ersten der Spannvektoren von E1 (Parameter r) und den beiden Spannvektoren von E2 (Parameter u und v) ist mir ein bis dahin unbekanntes Problem aufgefallen:




Es ist demnach nicht unerheblich in welcher Reihenfolge man die Matrix aufstellt. ABER: Woher weiß ich, welche Reihenfolge die richtige ist?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihenfolge ist egal.

Zitat:

Hier solltst Du noch einmal nachrechnen, auch bei dieser Reihenfolge sind die Vektoren lin. abhängig.

(Ich hätte Deine Frage übrigens auch ohne Fettdruck verstanden. Augenzwinkern )
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Wenn ich bedenke wie oft ich das nachgerechnet habe, dann wird mir ein bisschen flau im Magen smile

Leider kann mein TR so direkt überbestimmte LGS nicht. Wenn ich aber 2 Reihen aus der Gaußmatrix nehme und damit x und y bestimmte und x und y in die dritte Gleichung einsetze, dann müsste ich doch eine Ähnliche Aussage treffen können oder? Also wenn sich x und y bestimmten lassen und die dritte Gleichung dann eine wahre Aussage ist, dann müsste doch ebenfalls eine lineare Abhängigket bestehen oder?

PS: Das mit dem Fettdruck mache ich nur, damit man direkt auf einen Blick sieht wo die Frage steht. Ist manchmal übersichtlicher.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kannst Du so machen. Augenzwinkern
Aus zwei Zeilen des Gleichungssystem eine "Verdachtslösung" der Parameter bestimmen und mit der dritten Zeile überprüfen, ob es sich wirklich um eine Linearkombination der Vektoren handelt.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Was mich daran immer etwas verwirrt ist, dass ein LGS mit 3 Basisvektoren und 1 Ergebnisvektoren eben gerade nicht eindeutig lösbar sein darf, damit es sich um Linearkombinationen handelt oder? Wenn so ein LGS eindeutig lösbar ist, dann handelt es sich doch um linear unabhängige Basisvektoren, deren Ergebnisvektor natürlich auch linear unabhängig sein muss, oder? So ein LGS müsste dann in einer Identität enden damit man sagen kann, dass es sich um letztlich vier Linearkobinationen voneinander handelt, oder?

Für überbestimmte und "normal bestimmbare" LGS muss so gesehen also also eine Unterscheidung getroffen werden. Kann man so sehen oder?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, daß ich Deine Fragen richtig verstanden habe.

Zitat:
Original von Ascareth
Wenn so ein LGS eindeutig lösbar ist, dann handelt es sich doch um linear unabhängige Basisvektoren, deren Ergebnisvektor natürlich auch linear unabhängig sein muss, oder?

Der Ergebnisvektor muß bei Lösbarkeit lin. abhängig sein. Er wurde schließlich durch die Basisvektoren zusammengebastelt. Letztlich sind damit alle vier Vektoren lin. abhängig.

Zitat:
Was mich daran immer etwas verwirrt ist, dass ein LGS mit 3 Basisvektoren und 1 Ergebnisvektoren eben gerade nicht eindeutig lösbar sein darf, damit es sich um Linearkombinationen handelt oder?

Die Frage ist etwas unklar formuliert. Wenn das LGS mehrere Lösungen besitzt, dann waren die "Basisvektoren" linear abhängig (und damit eben keine Basisvektoren).

Überbestimmte LGS besitzen eine oder mehrere Nullzeilen, die nicht weiter irritieren sollten.
 
 
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