Konvergenzradien von Potenzreihen

23.11.2013, 11:07

Hanna93

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Konvergenzradien von Potenzreihen

Meine Frage:
Einen schönen guten Morgen,

ich muss den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen bestimmmen:

$\begin{eqnarray*} 1) \sum\limits_{n=0}^{\infty} n^5 x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^n}{n!} x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n^2} x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4) \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^3}{(3n)!} x^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5) \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_{n}=\begin{cases}<br /> 2^{-n}, & \text{wenn }n\text{ gerade}\\<br /> 3^{-n}, & \text{wenn }n\text{ ungerade.}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Konvergenzradius lässt sich ja mittels der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen:
Da gibt es ja die drei Fälle
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<r \end{eqnarray*}$ , so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|>r \end{eqnarray*}$ , so ist die Potenzreihe divergent.
Ist $\begin{eqnarray*} |x-x_0|=r \end{eqnarray*}$ , so ist's gar nichts, also es kann keine allgemeine Aussage getroffen werden.

Den Konvergenzradius bestimme ich jetzt indem ich hier:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

meine Potenzreihen einsetze, korrekt?

Von meiner Seite aus ein wär's das und für Anregungen/Verbesserungen/Ratschläge schon Mal ein Dankeschön plus High-Five smile

smile

24.11.2013, 02:04

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Neuer Tag, neue Hoffnung vielleicht findet sich noch jemand der mich unterstützt Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2013, 11:05

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93
Den Konvergenzradius bestimme ich jetzt indem ich hier:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

meine Potenzreihen einsetze, korrekt?

genauer musst du für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ten Koeffizienten der Potenzreihe einsetzen, dh bei 1) ist beispielsweise $\begin{eqnarray*} a_n=n^5 \end{eqnarray*}$

Das andere wichtige Hilfsmittel, um Konvergenzradien zu berechnen, hast du auch bereits genannt: die Formel von Cauchy-Hadamard:

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$

Welche der beiden Formeln günstiger ist, hängt von der Potenzreihe ab - manchmal führen auch beide zum Ziel.

24.11.2013, 13:41

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} 1) \sum\limits_{n=0}^{\infty} n^5 x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_1=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^5}{(n+1)^5} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^5}{(n+1)^5} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^5}{n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{n^5}}{1+\frac 5n +\frac{10}{n^2}+\frac{10}{n^3}+\frac{5}{n^4}+\frac{1}{n^5}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac 01 = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Und was sagt mir das jetzt?

24.11.2013, 16:41

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^5}{n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{n^5}}{1+\frac 5n +\frac{10}{n^2}+\frac{10}{n^3}+\frac{5}{n^4}+\frac{1}{n^5}} \end{eqnarray*}$

hier hast du im Zähler falsch gekürzt (ausserdem hättest du $\begin{eqnarray*} (n+1)^5 \end{eqnarray*}$ im Nenner nicht ausmultiplizieren müssen - du hättest direkt mit $\begin{eqnarray*} n^5 \end{eqnarray*}$ kürzen können)

24.11.2013, 18:41

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Ja stimmt, das habe ich falsch gekürzt. Dann kommt als Grenzwert 1 heraus.

$\begin{eqnarray*} r_1=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^5}{(n+1)^5} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^5}{(n+1)^5} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{(n+1)^5 \cdot \frac{1}{n^5}} = \frac 11 = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jedoch direkt kürze ohne auszumultiplizieren sehe ich nicht den Faktor 1.

Danke für die Aufmerksamkeit Freude

Freude

Aber wie geht's jetzt weiter?

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24.11.2013, 18:49

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
genauer meinte ich z.B. so

$\begin{eqnarray*} \frac{n^5}{(n+1)^5}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^5=\left(\frac{1}{1+1/n}\right)^5\to 1 \end{eqnarray*}$

Tip zu 2): wenn in den Koeffizienten eine Fakultät vorkommt, ist die Formel, die du schon bei 1) benützt hast, oft günstiger als Cauchy-Hadamard ...

24.11.2013, 20:33

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
genauer meinte ich z.B. so

$\begin{eqnarray*} \frac{n^5}{(n+1)^5}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^5=\left(\frac{1}{1+1/n}\right)^5\to 1 \end{eqnarray*}$

Ahso okay. Aber was sagt mir jetzt genau der Grenzwert 1?

Zitat:

Original von EinGast
Tip zu 2): wenn in den Koeffizienten eine Fakultät vorkommt, ist die Formel, die du schon bei 1) benützt hast, oft günstiger als Cauchy-Hadamard ...

Okay. Du meinst mit 2) eig 3), muss ja.

$\begin{eqnarray*} 3) \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^n}{n!} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_3=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{\frac{n^n}{n!}}{\frac{(n+1)^n}{(n+1)!}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^n \cdot (n+1)!}{n! \cdot (n+1)^n} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^n \cdot (n+1)n!}{n! \cdot (n+1)^n} \bigg| \end{eqnarray*}$

Jetzt hänge ich verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^n \cdot (n+1)}{(n+1)^n} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^{n^2} + n^n}{(n+1)^n} \bigg| \end{eqnarray*}$

24.11.2013, 20:56

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93
Aber was sagt mir jetzt genau der Grenzwert 1?

das ist jetzt der Konvergenzradius der Potenzreihe 1)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} r_3=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{\frac{n^n}{n!}}{\frac{(n+1)^n}{(n+1)!}} \bigg| \end{eqnarray*}$

im Nenner ist der Exponent von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ nicht richtig

24.11.2013, 21:22

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Ja stimmt, danke für die Korrektur.

$\begin{eqnarray*} r_3=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{\frac{n^n}{n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^n \cdot (n+1)!}{n! \cdot (n+1)^{n+1}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^n \cdot (n+1)n!}{n! \cdot (n+1)^{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Jetzt hänge ich verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{n^n}{(n+1)^n} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{n}{(n+1)} \bigg)^n = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{1}{1} \bigg)^n = 1 \end{eqnarray*}$

Korrekt? Tanzen

Tanzen

Bei den anderen klappt das Schema aber nicht mehr?

24.11.2013, 21:33

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93

$\begin{eqnarray*} r_3=... = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{n}{(n+1)} \bigg)^n = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{1}{1} \bigg)^n \end{eqnarray*}$

das letzte Gleichheitszeichen ist falsch (du kannst nicht einfach in der Klammer den Limes nehmen - der Exponent hängt ja auch noch von n ab). Aber

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac{1}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

und dieser Grenzwert sollte dir bekannt sein

3) lässt sich mit beiden Formeln leicht erledigen.

24.11.2013, 21:43

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n^2} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_2=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{2^{n^2}}{2^{(n+1)^2}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{2^{n^2}}{2^{n^2 + 2n + 1}} \bigg| = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{1}{2^{2n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

unglücklich

unglücklich

24.11.2013, 21:50

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
soweit richtig - was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{2n+1}} \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2013, 22:13

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{2n+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde auf Null tippen, aber wieso?

24.11.2013, 22:22

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
ja, einfach weil $\begin{eqnarray*} 2^{2n+1}=2\cdot 4^n\to \infty \end{eqnarray*}$ , also geht der Kehrwert gegen 0

24.11.2013, 22:30

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Genau, du hast recht, das habe ich nicht gesehen/bemerkt.

$\begin{eqnarray*} 4) \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^3}{(3n)!} x^{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_4=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Wie kann ich den jetzt hier vorgehen ich habe ja in der Reihe $\begin{eqnarray*} 4) \sum\limits_{n=0}^{\infty} .... x^{2n} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

24.11.2013, 22:44

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
du kannst z.B. u=x^2 setzen, dann hast du eine "normale" Potenzreihe in u. Wenn du deren Konvergenzradius hast, kannst du den der ursprünglichen Reihe ebenfalls angeben

24.11.2013, 22:55

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
du kannst z.B. u=x^2 setzen, dann hast du eine "normale" Potenzreihe in u.

Okay also substituieren.

Zitat:

Original von EinGast
Wenn du deren Konvergenzradius hast, kannst du den der ursprünglichen Reihe ebenfalls angeben

Hm. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich den dann im gefundenen Konvergenzradius resubstituieren soll?

Ich mach mal

$\begin{eqnarray*} 4) \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^3}{(3n)!} x^{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_4=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!}}{\frac{((n+1)!)^3}{(3(n+1))!}} \bigg| =\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{(n!)^3 \cdot (3(n+1))!}{(n+1)!)^3 \cdot (3n)!} \bigg| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{3 (n!)^3}{(n+1)!)^2 \cdot (3n)!} \bigg| \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht sry.

24.11.2013, 23:08

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Vorsicht beim Kürzen... es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{(n!)^3}{[(n+1)!]^3}=\frac{n!n!n!}{(n+1)!(n+1)!(n+1)!}=... \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{[3(n+1)]!}{(3n)!}=\frac{(3n+3)!}{(3n)!}=... \end{eqnarray*}$

24.11.2013, 23:11

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
übrigens kannst du die Beträge weglassen, da hier alle Koeffizienten positiv sind

24.11.2013, 23:14

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Okay Freude

Freude

Danke, ich weiß nicht nur so wirklich wie ich das anwenden bei unserem Beispiel verwirrt

verwirrt

Ist der letzte Schritt dann falsch, den ich gemacht habe?

24.11.2013, 23:27

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93
Ist der letzte Schritt dann falsch, den ich gemacht habe?

ja - soweit ich sehe, hast du dort $\begin{eqnarray*} \frac{(3n+3)!}{[(n+1)!]^3}=\frac{3}{[(n+1)!]^2} \end{eqnarray*}$ gerechnet, was nicht stimmt

24.11.2013, 23:29

Hanna93

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Ja dann ist der Faktor drei darauf bezogen, was soll ich denn dann noch vereinfachen wenn das nicht geht verwirrt

verwirrt

24.11.2013, 23:38

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93

$\begin{eqnarray*} r_4=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!}}{\frac{((n+1)!)^3}{(3(n+1))!}} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(n!)^3 \cdot (3(n+1))!}{((n+1)!)^3 \cdot (3n)!} \end{eqnarray*}$

bis hierher stimmt es (wobei ich die Beträge wegeditiert und im Nenner eine fehlende Klammer ergänzt habe). Jetzt das $\begin{eqnarray*} (n!)^3 \end{eqnarray*}$ im Zähler mit dem $\begin{eqnarray*} ((n+1)!)^3 \end{eqnarray*}$ im Nenner verarbeiten, da fällt einiges weg... und dann das $\begin{eqnarray*} (3(n+1))! \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} (3n)! \end{eqnarray*}$ ...wie ich weiter oben geschrieben habe

24.11.2013, 23:51

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Also mit dem ersten Tipp:

$\begin{eqnarray*} r_4=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!}}{\frac{((n+1)!)^3}{(3(n+1))!}} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(n!)^3 \cdot (3(n+1))!}{((n+1)!)^3 \cdot (3n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(3(n+1))!}{(n+1)^3 \cdot (3n)!} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(3n+3)!}{(n+1)^3 \cdot (3n)!} \end{eqnarray*}$

Aber den Rest verwirrt

verwirrt

weiß ich echt nicht weiter.

Danke.

24.11.2013, 23:57

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
soweit richtig - nun ist ja $\begin{eqnarray*} (3n+3)!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (3n)\cdot(3n+1)(3n+2)(3n+3) \end{eqnarray*}$

25.11.2013, 00:02

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
nun ist ja $\begin{eqnarray*} (3n+3)!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (3n)\cdot(3n+1)(3n+2)(3n+3) \end{eqnarray*}$

Das schnalle ich irgendwie nicht.

Ich kann ja schreiben $\begin{eqnarray*} (3n+3)! = (3 (n+1))! \end{eqnarray*}$ aber das ist ja nur eine andere Form... verwirrt

verwirrt

25.11.2013, 00:14

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93

Zitat:

Original von EinGast
nun ist ja $\begin{eqnarray*} (3n+3)!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (3n)\cdot(3n+1)(3n+2)(3n+3) \end{eqnarray*}$

Das schnalle ich irgendwie nicht.

das ist wirklich nur die Definition der Fakultät - man hat die Faktoren bis und mit $\begin{eqnarray*} 3n \end{eqnarray*}$ , und dann noch die restlichen 3 Faktoren. (sonst hilft es vielleicht, mal den Ausdruck für z.B n=1 auszuschreiben)

Zitat:

Ich kann ja schreiben $\begin{eqnarray*} (3n+3)! = (3 (n+1))! \end{eqnarray*}$ aber das ist ja nur eine andere Form... verwirrt

verwirrt

ja, das ist dasselbe, aber die Form links ist günstiger für das Kürzen

25.11.2013, 00:27

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
(sonst hilft es vielleicht, mal den Ausdruck für z.B n=1 auszuschreiben)

Für n=1 $\begin{eqnarray*} (3+3)!=6! \end{eqnarray*}$
Für n=2 $\begin{eqnarray*} (6+3)!=9! \end{eqnarray*}$
Für n=3 $\begin{eqnarray*} (9+3)!=12! \end{eqnarray*}$

Und so weiter.

Dann für n=1 für $\begin{eqnarray*} (3n)! \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3! \end{eqnarray*}$
für n=2 st $\begin{eqnarray*} 6! \end{eqnarray*}$
für n=3 ist $\begin{eqnarray*} 9! \end{eqnarray*}$

Also bleibt im Nenner $\begin{eqnarray*} 3! \end{eqnarray*}$ übrig?

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(3(n+1))!}{(n+1)^3 \cdot (3n)!} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{(n+1)^3 \cdot 3!} \end{eqnarray*}$

Kann das sein? verwirrt

verwirrt

25.11.2013, 00:34

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Falsch dann bleibt einfach

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(3(n+1))!}{(n+1)^3 \cdot (3n)!} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{(n+1)^3 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg(\frac{1}{n+1}\bigg)^3 \end{eqnarray*}$

Dann ist der Grenzwert Null! Tanzen

Tanzen

Ja?

25.11.2013, 00:42

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
leider nein. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(3(n+1))!}{(n+1)^3 \cdot (3n)!} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1\cdot2\cdot ...\cdot(3n)\cdot(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)^3 \cdot 1\cdot2\cdot ...\cdot (3n)} \end{eqnarray*}$

die Faktoren 1,2 ,... ,(3n) kommen im Zähler und im Nenner vor, können also gekürzt werden:

$\begin{eqnarray*} ...=\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)^3} \end{eqnarray*}$

und jetzt noch diesen Grenzwert bestimmen.

PS: bin offline

25.11.2013, 00:46

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
die Faktoren 1,2 ,... ,(3n) kommen im Zähler und im Nenner vor, können also gekürzt werden:

Ich verstehe die Notation nicht mit der Fakultät die du da benutzt... verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von EinGast
$\begin{eqnarray*} ...=\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)^3} \end{eqnarray*}$

und jetzt noch diesen Grenzwert bestimmen.

Ich hoffe das kriege ich hin.

PS: Okay vielen Dank bis dann.

25.11.2013, 14:06

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Soll ich jetzt da mit der höchsten Potenz kürzen, oder wie soll ich da weitermachen? Konvergieren tut's bzw. muss es auf jeden Fall.

$\begin{eqnarray*} ...=\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)^3} \end{eqnarray*}$

25.11.2013, 14:13

klarsoweit

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93
Soll ich jetzt da mit der höchsten Potenz kürzen

Ja.

smile

25.11.2013, 17:39

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} 5) \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_{n}=\begin{cases}<br /> 2^{-n}, & \text{wenn }n\text{ gerade}\\<br /> 3^{-n}, & \text{wenn }n\text{ ungerade.}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und wie setze ich das in die Formel ein??? verwirrt

verwirrt

25.11.2013, 18:45

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
hier ist Cauchy-Hadamard günstiger

25.11.2013, 22:28

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$

Setze ich jetzt erstmal $\begin{eqnarray*} 2^{-n} \end{eqnarray*}$ ein und dann $\begin{eqnarray*} 3^{-n} \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2013, 22:34

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} a_n=2^{-n} \end{eqnarray*}$ für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} a_n=3^{-n} \end{eqnarray*}$ für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - wie sieht somit die Folge $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{|a_n|})_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus?
Dann deren Limsup bestimmen (grösster Häufungspunkt)

25.11.2013, 23:01

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
$\begin{eqnarray*} a_n=2^{-n} \end{eqnarray*}$ für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} a_n=3^{-n} \end{eqnarray*}$ für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Genau das wollte ich machen.

Zitat:

Original von EinGast
wie sieht somit die Folge $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{|a_n|})_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus?

Ja schwer zu sagen n-te Wurzel verkleinert ja die Folge, weiß nicht jedenfalls geht's eher gegen unendlich?

Zitat:

Original von EinGast
Dann deren Limsup bestimmen (grösster Häufungspunkt)

Erst dann bestimmen? Wie meinst du das?

25.11.2013, 23:09

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
was ist denn etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{-n}} \end{eqnarray*}$ ?

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