Konvergenzradien von Potenzreihen - Seite 2

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25.11.2013, 22:37

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von EinGast
was ist denn etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{-n}} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{-n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$

Das geht doch gegen Null.

25.11.2013, 22:42

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
nein, sondern
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{-n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{2}\right)^n}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle geraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Analog für die ungeraden

25.11.2013, 22:53

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
[quote]Original von EinGast
nein, sondern
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{-n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}}=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{3}\right)^n}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{3} \forall \end{eqnarray*}$ Ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Und das wäre danm de Limsup?

25.11.2013, 22:55

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
naja, welche Häufungspunkte hat denn die Folge $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ ? Wie schon gesagt ist Limsup der grösste davon

25.11.2013, 23:01

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist der größte nein quatsch Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist der größte Häufungspunkte der Folge?

25.11.2013, 23:06

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
ja, also ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , und der Konvergenzradius der Reihe ist somit ...

25.11.2013, 23:15

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Zwei, oder? Das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist ja im Nenner, wenn wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ haben ist das ja gleich zwei?

25.11.2013, 23:30

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
ja

25.11.2013, 23:35

Hanna93

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Ich kann meinen Dank nicht in Worte Fassen. Aber wirklich ganz herzlichen Dank Freude

Eine Frage noch: Was ist jetzt der Unterschied zwischen den zwei Vorgehensmöglichkeiten bzw. wieso haben wir/hast du so entschieden und wann weiß ich welche ich nehmen soll, kann ich das irgendwie an etwas festmachen?

25.11.2013, 23:48

EinGast

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Hanna93
Was ist jetzt der Unterschied zwischen den zwei Vorgehensmöglichkeiten bzw. wieso haben wir/hast du so entschieden und wann weiß ich welche ich nehmen soll, kann ich das irgendwie an etwas festmachen?

es gibt einige Anhaltspunkte: wenn im Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Fakultät vorkommt, dann ist eher die Formel $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$ besser geeignet (wobei für diese Formel die $\begin{eqnarray*} a_n\neq0 \end{eqnarray*}$ sein müssen)
Kommt dagegen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Exponent vor, so ist oft Cauchy-Hadamard günstiger. Das sind jetzt zwei typische Fälle, aber es gibt sicher auch Ausnahmen. Manchmal muss man halt einfach probieren

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