Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation?

23.11.2013, 13:28	Tazi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Meine Frage: Hallo liebe Leute, bei einer Aufgabe meines Übungszettels bin ich mir sehr unsicher, ob ich mit meinem Beweis/meiner Prüfung richtig liege bzw. ob meine Ansätze richtig sind. Hier die Aufgabe: Wir betraten auf Wir betrachten auf R^2 (reelle Zahlen zum Quadrat) die Relation x~y :<=> x1-y1 = y2-x2, dabei x = (x1,x2), y = (y1,y2) Element R^2. a) Prüfen Sie, ob ~ eine Äquivalenzrelation ist. b) Geben Sie gegebenfalls ein Repräsentantensystem an. Meine Ideen: Meine Ansätze zu a): Ich muss prüfen, ob die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. reflexiv: x~x Zuerst habe ich mir gedacht, dass aus x1-y1=y2-x2 folgt x1=y2 und y1=x2. Ginge das? (x1,x2)~x1-y1=y2-x2 (x1,x2)~x1-x2=x1-x2 (x1,x2)~x1-x1=x2-x2, daraus folgt x1-x1=0=x2-x2, also ist die Relation reflexiv. symmetrisch: x~y => y~x x1-y1=y2-x2 => y1-x1=x2-y2 => y2-x2=x1-y1, also ist die Relation symmetrisch. transitiv: x~y und y~z => x~z x1-y1=y2-x2 und y1-z1=z2-y2 => x1-z1=z2-x2 x1+x2=y2+y1 x1+x2=z2+z1 x1+x2=y2+y1 einsetzen in x1+x2=z2+z1: y2+y1=z2+z1 => y1-z1=z2-y2, also ist die Relation auch transitiv. Die Relation ist also eine Äquivalenzrelation. zu b) habe ich leider überhaupt keine Ahnung. Mir wäre allerdings schon sehr geholfen, wenn mir jemand was zu meinen Überlegungen in a) sagen würde. Liebe Grüße
24.11.2013, 16:59	maj.lie09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Ich mache gerade die gleiche Aufgabe, wie du. Also zu reflexiv musst du eigentlich nur schreiben, dass x~x gilt, da x1-x1=0=x2-x2 Und bei transitiv musst du das, glaube ich, etwas anders machen. Du weißt ja, dass x~y ^ y~z und willst quasi beweisen, dass dann auch x~z gilt. Deshalb musst du mit (1) x1-y1=y2-x2 und (2) y1-z1=z2-y2 rechnen, und nicht mit (3) x1-z1=z2-x2 (weil die Gleichung willst du ja beweisen!) Ich hab's so gemacht: (1) x1-y1=y2-x2 <=> x1+x2=y2+y1 (2) y1-z1=z2-y2 <=> y1+y2=z2+z1 aus (1) und (2) folgt: x1+x2=z2+z1 <=> x1-z1=z2-x2 und das ist ja Gleichung (3) und somit gilt x~z!
24.11.2013, 17:24	Tazi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Vielen Dank! Ich habe allerdings eine Frage zur Reflexivität: Warum gilt x~x, da x1-x1=0=x2-x2? Das habe ich irgendwie nicht verstanden. Habs nämlich auch so in einem Buch gefunden, aber warum ist das dann reflexiv?
24.11.2013, 17:30	maj.lie09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Wir betrachten ja die Relation x~y :<=> x1-y1 = y2-x2 Also in Worten: x steht in Relation zu x, wenn x1-y1 = y2-x2 gilt! Reflexiv bedeutet ja, dass x in Relation zu x steht, und das tut es dann natürlich auch unter obiger Bedingung, nur setzt du halt für y immer x ein, da du ja x~x beweisen willst und nicht x~y. Also statt x1-y1=y2-x2, muss x1-x1=x2-x2 gelten, da uns das y bei der Reflexivität ja gar nicht interessiert (die Bedingung schon!) Hoffe du hast das so verstanden, wusste nicht so genau, wie ichs gut erklären soll
24.11.2013, 17:34	Tazi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Ah, jetzt ergibt es Sinn. Ich habe es mir irgendwie so ähnlich gedacht, aber dachte dann, dass das zu einfach gedacht wäre Tausend Dank! Womit ich aber gar nicht klar komme, ist das Repräsentantensystem. Kann man sich das irgendwie als Punkte in einem Koordinatensystem vorstellen oder so? Wegen (x1,x2) und (y1,y2). Ich habe da leider überhaupt keinen Ansatz dazu, weil ich es irgendwie nicht raffe, wofür das gut sein soll
24.11.2013, 17:39	maj.lie09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Kein Problem, ich mache gerade genau die gleiche Aufgabe und das mit dem Beweisen der Äquivalenzrelation hab ich gerade noch hinbekommen, aber von Repräsentantensystemen hab ich auch absolut keine Ahnung Ich frage mich da gerade auch in anderen Foren durch. Ich sage Bescheid, wenn ich was erfahren habe
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24.11.2013, 17:44	Tazi93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Relation eine Äquivalenzrelation? Schön zu wissen, dass man mit seinen Problemen nicht alleine ist
25.11.2013, 12:32	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Repräsentantensystem ordnet jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten zu, d.h. ein Element aus der Klasse, das die Klasse repräsentiert. Mach dir klar, wie die Äquivalenzklassen aussehen, dann müsstest du auf eine Idee kommen, wie man ein Repräsentantensystem konstruieren könnte. Edit: In einem anderen Thread hat jemand den Repäsentanten als Klassensprecher bezeichnet. Ein netter Vergleich.

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