Rekusiv definierte Folge

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23.11.2013, 14:15	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekusiv definierte Folge Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n-\frac{x_n^{12}- 2^7}{x_n^{11}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ konvergiert. Welche polynomiale Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten löst der Grenzwert? Was passiert für $\begin{eqnarray} x_0 =-2, x_0 = 1 \end{eqnarray}$ ? Als erstes zeige ich, dass die Folge mit $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ konvergiert. Wir betrachten nun die Folge $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n-\frac{x_n^{12}- 2^7}{x_n^{11}} \end{eqnarray}$ mit Stratwert $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ . Möglicher Grenzwert ergibt sich durch Grenzwertübergang $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} x_{n} = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = x \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} x = x-\frac{x^{12}- 2^7}{x^{11}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = -\frac{x^{12}- 2^7}{x^{11}} \end{eqnarray}$ Ich denke das die Rechnung bis hier hin richtig ist, aber welches Ergebnis fliegt jetzt raus ich kann ja nicht mit 2 Ergebnissen weiterrechnen. $\begin{eqnarray} 0 = -x^{12}+2^7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{12} = 2^7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \pm\sqrt[12]{2^7} \end{eqnarray}$
23.11.2013, 14:59	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir definierte Folge konvergiert doch garnicht. Bitte prüfe nochmal, ob du dich nicht verschrieben hast.
23.11.2013, 15:29	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich nicht verschrieben, aber zur Kontrolle hab ich die Aufgab als Bild nochmal im Anhang drin. http://s1.directupload.net/images/131123/3ia5t3s7.jpg
23.11.2013, 15:34	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schau nochmal scharf hin, du hast dich sehr wohl verschrieben.
23.11.2013, 15:41	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, wo kommt die 12 denn her ich war felsenfest davon überzeugt das im Nenner kein Koeffizient auftaucht. Aber das verändert meine Rechnung doch nicht ob ich nun mal $\begin{eqnarray} x^{11} \end{eqnarray}$ oder mal $\begin{eqnarray} 12x^{11} \end{eqnarray}$ rechne ist doch egal.
23.11.2013, 15:43	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Es verändert zwar den möglichen Grenzwert nicht, wohl aber die Eigenschaft, ob die Folge auch gegen diesen Grenzwert konvergiert oder ob sie es nicht tut.
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23.11.2013, 15:52	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
okey das stimmt. Aber wie entscheide ich nun welchen der beiden möglichen Grenzwerte ich verwende? ich hab ja leider keine Wurzel oder sonst was, wo man sagen könnte das nur der Positive Grenzwert möglich ist, da eine Wurzel keine negativen Ausdrücke zulässt.
23.11.2013, 15:55	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem expliziten Grenzwert wird garnicht gefragt, du sollst nur eine polynomiale Gleichung angeben, deren Lösung dein Grenzwert ist. Das hast du mit $\begin{eqnarray} 0 = -x^{12}+2^7 \end{eqnarray}$ getan. Wenn du wissen willst, welches dein Grenzwert ist, so könntest du zum Beispiel zeigen, dass die Folge positiv ist. Du solltest dir eher Gedanken machen, wie du die Konvergenz zeigen willst
23.11.2013, 16:29	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mach ich mittels Beschränktheit und Monotonie oder?
23.11.2013, 16:46	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre auch mein Ansatz, scheint mir hier garnicht so einfach. Ich sehe gerade auf den ersten Blick nicht, wie es geht, bin mir aber ziemlich sicher, dass es so eigentlich gehen sollte.
24.11.2013, 15:22	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuch mich jetzt mal an der Beschränktheit durch $\begin{eqnarray} x_n \geq\sqrt[12]{2^7} \end{eqnarray}$ . Der Beweis erfolgt via vollständiger Induktion. Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} x_0 = 2 > \sqrt[12]{2^7} \surd \end{eqnarray}$ Induktionsvoraussetzung: Die Abschätzung gilt für ein n. Induktionsannahme: Wenn die Abschätzung für n gild, dann gilt sie auch für n+1. Induktionsbeweis: $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^{12}-2^7}{12x_n^{11}}\geq\sqrt[12]{2^7}-\frac{(\sqrt[12]{2^7})^{12}-2^7}{12(\sqrt[12]{2^7})^{11}} = \sqrt[12]{2^7}-\frac{2^7-2^7}{12(\sqrt[12]{2^7})^{11}} = \sqrt[12]{2^7}-\frac{0}{12(\sqrt[12]{2^7})^{11}} = \sqrt[12]{2^7} \end{eqnarray}$ damit ist die Beschränktheit gezeigt oder?
24.11.2013, 15:32	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum gilt das: $\begin{eqnarray} x_n-\frac{x_n^{12}-2^7}{12x_n^{11}}\geq\sqrt[12]{2^7}-\frac{(\sqrt[12]{2^7})^{12}-2^7}{12(\sqrt[12]{2^7})^{11}} \end{eqnarray}$ ? Speziell: Warum kannst du das $\begin{eqnarray} x_n^{12} \end{eqnarray}$ im Zähler ersetzen? Dieses taucht doch mit negativem Vorzeichen auf.
24.11.2013, 16:02	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich mal fragen, was du schon so zur Verfügung hast? Mit dem Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung ginge es sehr einfach. Vielleicht geht es auch anders einfach, ist mir aber noch nicht eingefallen.
24.11.2013, 16:47	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du den Fundamentalsatz der Algebra meinst, ja den hab wir schon bewiesen.
24.11.2013, 17:26	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, unter dem Namen Fundamentalsatz der Algebra ist mir der noch nie begegnet, wohl aber als Fundamentalsatz der Analysis Also Induktion braucht man trotzdem noch, aber im Induktionsschritt kann man dann so vorgehen: $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n-\frac{x_n^{11}-2^7}{12x_n^{11}} = \int_{\sqrt[12]{2^7}}^{x_n}\frac{\dd}{\dd x}\left(x-\frac{x^{12}-2^7}{12x^{11}}\right)\dd x + \sqrt[12]{2^7} \end{eqnarray}$ . Überlege dir, warum das stimmt. Dann musst du nurnoch zeigen, dass das Integral $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ ist. Benutze dafür die Induktionsvoraussetzung.
24.11.2013, 18:00	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey das hatten wir noch nicht hab noch nie ein Integral-Zeichen in der Vorlesung gesehen
24.11.2013, 18:12	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht es denn mit Differentialrechnung aus? Insbesondere Mittelwertsatz?

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