Grenzwert der Hypergeometr. Verteilung

23.11.2013, 17:09

Nobundo

Grenzwert der Hypergeometr. Verteilung

Hallo, ich möchte gerne folgendes zeigen:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{s,w\rightarrow\infty}\text{Hyp}_{s+w,s,n}(\{k\})=\text{Bin}_{n,p}(\{k\}) \end{eqnarray*}$ wobei gelten soll: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{s,w\rightarrow\infty}\frac{s}{s+w}=p \end{eqnarray*}$

das heisst also ich muss zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{s,w\rightarrow\infty}\frac{\begin{pmatrix} s+w \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 2s+w \\ n \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Ich komme nach dem einsetzen auf der linken Seite allerdings nur bis hier hin:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\lim\limits_{s,w\rightarrow\infty}\frac{s!(s+w)!(2s+w-n)!}{(2s+w)!(s+w-k)!(s+k-n)!}=? \end{eqnarray*}$

Gruß Nobundo

23.11.2013, 18:17

Leopold

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Könnte es sein, daß du mit deinen Bezeichnungen durcheinander geraten bist und in Wahrheit

$\begin{eqnarray*} \frac{{s \choose k} \cdot {w \choose {n-k}}}{{{s+w} \choose n}} \to {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist.

23.11.2013, 18:23

Nobundo

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hmm ne die Aufgabenstellung ist 1:1 abgeschrieben. Wobei auf dem Blatt ein Druckfehler zu sein scheint denn es wird einmal von

$\begin{eqnarray*} \text{Hyp}_{s+w,s,n} \end{eqnarray*}$ gesprochen und ein anderes mal steht da $\begin{eqnarray*} \text{Hyp}_{s+w,w,n} \end{eqnarray*}$

bedes entspricht aber nicht deiner linken seite oder?

23.11.2013, 18:28

Nobundo

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Wobei 2teres entspricht doch deiner linken seite für $\begin{eqnarray*} \tilde{s}:=s+w \end{eqnarray*}$

23.11.2013, 18:36

Nobundo

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Also müsste ich doch das zeigen, was du gerade angegeben hast, das bekomme ich aber auch nicht hin.

23.11.2013, 18:37

Leopold

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In einer Urne sind $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ schwarze und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ weiße Kugeln, insgesamt also $\begin{eqnarray*} N=s+w \end{eqnarray*}$ Kugeln. Nun wird $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal eine Kugel ohne zurückzulegen gezogen. Bezeichnet $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Anzahl der schwarzen Kugeln unter den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gezogenen, dann ist

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{{s \choose k} \cdot {w \choose {n-k}}}{{N \choose n}} \end{eqnarray*}$

Das ist das Standard-Modell für eine hypergeometrische Verteilung. Die drei Parameter $\begin{eqnarray*} s,w,N \end{eqnarray*}$ sind über die Gleichung $\begin{eqnarray*} s+w=N \end{eqnarray*}$ aneinander gekoppelt. Ob du das Ding nun $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hyp}_{N,n,s} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hyp}_{N,s,n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hyp}_{s+w,s,n} \end{eqnarray*}$ oder ... nennst - das macht jeder anders. Wichtig ist nur, ob die obige Formel damit gemeint ist. Und da kann dir wirklich niemand helfen als du dir selbst: Schau in deinen Unterlagen nach, wie in der Vorlesung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hyp}_{\text{was auch immer}} \end{eqnarray*}$ festgelegt wurde.

23.11.2013, 18:40

Nobundo

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Ok, aber mal Notation beiseite, wie zeige ich den Grenzübergang den du angegeben hast?

23.11.2013, 19:01

Nobundo

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Zitat:

Original von Leopold
Könnte es sein, daß du mit deinen Bezeichnungen durcheinander geraten bist und in Wahrheit

$\begin{eqnarray*} \frac{{s \choose k} \cdot {w \choose {n-k}}}{{{s+w} \choose n}} \to {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist.

Den hier meine ich diesmal Augenzwinkern

23.11.2013, 19:27

Leopold

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Ich verwende die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (n)_k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \end{eqnarray*}$ . Das Produkt hat $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Faktoren. Zusätzlich wird $\begin{eqnarray*} (n)_0= \end{eqnarray*}$ 1 gesetzt.

$\begin{eqnarray*} \frac{{s \choose k} \cdot {w \choose {n-k}}}{{{s+w} \choose n}} = \frac{(s)_k}{\color{red} k!} \cdot \frac{(w)_{n-k}}{\color{red} (n-k)!} \cdot \frac{\color{red} n!}{(s+w)_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(s)_k}{(s+w)_k} = \frac{s}{s+w} \cdot \frac{s-1}{s+w-1} \cdots = \frac{\frac{s}{s+w}}{1} \cdot \frac{\frac{s}{s+w} - \frac{1}{s+w}}{1 - \frac{1}{s+w}} \cdots \approx p \cdot p \cdots \end{eqnarray*}$

23.11.2013, 19:38

Nobundo

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aah, danke dir, glaube so bekomme ich das hin.

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