Potenzreihen gesucht

23.11.2013, 17:25	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihen gesucht Hallo zusammen. Bei einer Aufgabe auf dem aktuellen Blatt sind diverse Potenzreihen gesucht und ich habe leider keinen richtigen Ansatz. In der ersten Teilaufgabe ist beispielsweise eine Potenzreihe gesucht, die in genau 37 Randpunkten der Konvergenzscheibe divergiert. Ich dachte, dass ich mir da eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 1 und Entwciklungspunkt 0 basteln kann und als die 37 divergenten Punkte genau die Eckpunkte des regelmäßigen 37-Ecks wählen kann. Ich weiß nicht, ob dieser Ansatz prinzipiell richtig ist und es scheitert vor allem daran, wie so eine Potenzreihe formal aussehen muss, also wie die Koeffizienten zu wählen sind. Vielleicht hat ja jemand einen kleinen Denkanstoß für mich oder kann mir zumindest sagen, ob die Grundidee richtig ist, das wäre super!
23.11.2013, 23:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee paßt. Jetzt nimm eine Potenzreihe, die auf dem Einheitskreis an genau einer Stelle divergiert, z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{z^{\nu}}{\nu} \end{eqnarray}$ , und substituiere $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ entsprechend.
24.11.2013, 01:08	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... irgendwie will es noch nicht so richtig klick machen, denn ich glaube, ich denke jetzt zu einfach: Muss ich denn überhaupt genau diesen Ansatz machen? Kann ich nicht einfach irgendein Polynom der Form $\begin{eqnarray} p(x)=(\prod_{k=1}^{37}(x-a_{k}))+1 \end{eqnarray}$ mit paarweise verschiedenen $\begin{eqnarray} a_{k} \end{eqnarray}$ hernehmen? Dann ergibt sich für genau die 37 Nullstellen des Produkts der Wert 1, für den deine genannte Potenzreihe auf dem Rand der Konvergenzscheibe divergiert (Für alle anderen Randpunkte konvergiert sie lokal gleichmäßig, das haben wir mal gezeigt, habe ich gerade entdeckt). Aber das erscheint mir zu trivial. Bei der nächsten Teilaufgabe ist nämlich nach einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 und Konvergenzradius 1 gefragt, die genau in den Randpukten $\begin{eqnarray} e^{i}, e^{2i}, e^{17i} \end{eqnarray}$ divergiert und da hätte ich dann auch einfach nur das Produkt der Linearfaktoren genommen und noch eins aufaddiert. Ich bin etwas verwirrt...
24.11.2013, 18:51	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe heute noch den halben Tag darüber nachgedacht, aber bin einfach auf keinen grünen Zweig mehr gekommen. Wenn ich z durch das oben genannte Polynom ersetze, dann konvergiert die Reihe doch genau in den Nullstellen des Produkts der Linearfaktoren. Oder muss ich die Linearfaktoren wirklich mit den primitiven 17.en Einheitswurzeln wählen, da diese den Betrag 1 haben? Außerdem weiß ich ich bei einer derartigen Substitution überhaupt nicht, was sich am Entwicklungspunkt und Konvergenzradius verändert. Andererseits ist das Produkt der Einheitswurzeln ja 1 und durch die ungerade Anzahl bekomme ich also als absolutes Glied des Produkts -1 heraus, insgesamt also als Entwicklungspunkt 0. Puuh, ich habe mich echt so daran festgebissen, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe...^^ Vielleicht kannst du ja noch ein paar Worte zu meinen Ansätzen verlieren.
24.11.2013, 21:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du für die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ die 37. Einheitswurzeln nimmst, dann ist $\begin{eqnarray} p(z) = z^{37} \end{eqnarray}$ . Und wenn du in der Reihe, die ich dir vorgeschlagen habe, $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} z^{37} \end{eqnarray}$ substituierst, bekommst du eine Reihe, die an genau 37 Punkten auf dem Einheitskreis divergiert. Bei anderen Polynomen kann das schwieriger werden, weil $\begin{eqnarray} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\left( p(z) \right)^{\nu}}{\nu} \end{eqnarray}$ nicht notwendigerweise eine Potenzreihe mehr ist. Du kannst natürlich die $\begin{eqnarray} \left( p(z) \right)^{\nu} \end{eqnarray}$ auspotenzieren und dann erneut nach Potenzen von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ordnen. Aber erstens wird das rechnerisch sehr unübersichtlich und zweitens wäre ich vorsichtig, ob das Konvergenzverhalten bei solchen Umordnungen tatsächlich erhalten bleibt. Für das andere Problem würde ich $\begin{eqnarray} \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\left( \operatorname{e}^{- \operatorname{i}}z \right)^{\nu}}{\nu} + \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\left( \operatorname{e}^{- 2 \operatorname{i}}z \right)^{\nu}}{\nu} + \sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{\left( \operatorname{e}^{-17 \operatorname{i}}z \right)^{\nu}}{\nu} \end{eqnarray}$ betrachten. Nachtrag: Warum jetzt auf einmal "17. Einheitswurzeln"?
25.11.2013, 20:16	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine schon die 37. Einheitswurzeln, da habe ich mich bloß verschrieben. Und zur ersten Teilaufgabe: Da würde ich am liebsten vor Scham im Boden versinken. Ich habe mal wieder viel zu kompliziert gedacht, habe mich irgendwann am Kreisteilungspolynom festgebissen und bin dann auf diese Idee mit den Linearfaktoren gekommen, dabei ist die Lösung ja so simpel (und allein schon aufgrund des Namens "Einheitswurzel" eigentlich auch offensichtlich). Zur anderen Aufgabe: Diesen Ansatz hatte ich dann letztendlich auch, aber so ganz warm bin ich damit noch nicht geworden. Ich weiß, dass die Summe von Potenzreihen wieder eine Potenzreihe ist und für genau die drei genannten Werte divergiert die Summe dieser drei Potenzreihen. Für alle anderen Werte mit Betrag 1 folgt Konvergenz, da dann jede der drei Potenzreihen (die jeweils Konvergenzradius 1 besitzen) konvergiert. Ich weiß aber nicht, ob das schon genügt, denn soweit ich mich richtig erinnere, ist der Konvergenzradius einer Summe von Potenzreihen, die jeweils den Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ haben, mindestens $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ . Wenn man nun aber z.B. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty 2^nx^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty -2^nx^n \end{eqnarray}$ betrachtet, dann haben die beiden Potenzreihen einen Konvergenzradius von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , die Summe konvergiert aber offensichtlich überall. Andererseits habe ich ja ja für drei Punkte mit Betrag 1 Divergenz gezeigt und für andere Punkte mit Betrag 1 habe ich Konvergenz, insofern erscheint es mir "logisch", dass auch der Konvergenzradius der Summe 1 ist, aber ich weiß nicht, ob man das als Begründung anführen kann. Aber vermutlich denke ich schon wieder viel zu kompliziert... Vielen Dank auf jeden Fall schonmal für deine Hilfe!
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25.11.2013, 23:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist alles richtig, was du sagst. Ich würde es so formulieren. 1. Alle drei Reihen konvergieren für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ , also konvergiert die Summenreihe auch für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ . Der Konvergenzradius der Summenreihe ist daher $\begin{eqnarray} r \geq 1 \end{eqnarray}$ . 2. An den drei kritischen Stellen auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ divergiert jeweils eine Reihe, während die beiden andern konvergieren. Also divergiert die Summenreihe an den drei kritischen Stellen. Zugleich folgt, daß der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r \leq 1 \end{eqnarray}$ ist. Und mit 1. folgt, daß der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ ist. 3. An allen außer den kritischen Stellen auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ konvergieren alle drei Reihen und damit auch die Summenreihe.
26.11.2013, 14:54	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Manchmal vergesse ich schlichtweg einfach zu denken und suche nach Problemen, wo es überhaupt keine Probleme gibt. Man sollte ab und zu doch seiner ersten Eingebung vertrauen. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.

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