Beweis der Stetigkeit

23.11.2013, 17:41	aircrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Stetigkeit Meine Frage: Hallo, ich soll mit dem Epsilon-Delta Kriterium beweisen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = xsin(1/x) \end{eqnarray}$ an x=0 stetig ist, wenn für f(0) = 0 gilt. Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} \| x-0 \| < \delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| f(x) - f(0) \| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| xsin(1/x) - 0 \| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x\| * \|sin(1/x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x\| < \frac{\epsilon}{\|sin(1/x)\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta = \frac{\epsilon}{\|sin(1/x)\|} \end{eqnarray*}$ Hier zeigt sich aber, dass delta für die stelle x=0 nicht definiert ist, weil sin(1/0) nicht defniert ist. Was hab ich denn falsch gemacht?
23.11.2013, 18:06	Donquixote	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir müssen $\begin{eqnarray} \forall\varepsilon >0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} \|x-0\|=\|x\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(0)\|=\|x\sin (\frac{1}{x})\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt und zwar für jedes x aus dem Definitionsbereich. Wir starten mit $\begin{eqnarray} \delta >0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \delta >\|x\|\geq \|x\|\underbrace{\|\sin (\frac{1}{x})\|}_{\in [0,1]} \end{eqnarray}$ Hilft das schon weiter?

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