Basis Vektorraum (rekursiv gebildeter Polynom)

23.11.2013, 18:04

Schattenwolf

Basis Vektorraum (rekursiv gebildeter Polynom)

Meine Frage:
Guten Tag,
und zwar habe ich eine Frage zu einer Aufgabe.

Es sei:
$\begin{eqnarray*} V := \left\{ f: \mathbb R \to \mathbb R \exists n \in \left\{ 0, 1, 2, ...\right\} \exists a_{0}, .., a_{n} \forall x \in \mathbb R gilt f(x)= \sum_{i=0}^n a_{i}x^{i} \right\} \end{eqnarray*}$
der R-Vektorraum der Polynomfunktionen

dann sind:
$\begin{eqnarray*} V_{n} := \left\{ f: \mathbb R \to \mathbb R \exists a_{0}, .., a_{n} \forall x \in \mathbb R gilt f(x)= \sum_{i=0}^n a_{i}x^{i} \right\} \end{eqnarray*}$
Unterräume für alle $\begin{eqnarray*} n \in \left\{ 0, 1, 2, ... \right\} \end{eqnarray*}$

Die Folge $\begin{eqnarray*} p_{n} \end{eqnarray*}$ sei rekursiv definiert durch:
$\begin{eqnarray*} p_{0}:=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{1}:=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{n+1}:= x * p_{n}(x)-p_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

also wären
$\begin{eqnarray*} p_{2}:=x^{2}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{3}:=x^{3}-2x \end{eqnarray*}$
...

Beweisen sie, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bilden.

Meine Ideen:
Für die Basiseigenschaften muss ich zeigen, dass alle Vektoren linear unabhängig sind und die Basis die Dimension n hat.

Für die lineare Unabhängigkeit gilt:
für $\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i=0}^n a_{i} x^{i} \end{eqnarray*}$ sind alle $\begin{eqnarray*} a_{i}=0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir überlegt, dass man das vielleicht irgendwie über vollständige Induktion machen kann.

$\begin{eqnarray*} V_{0} \end{eqnarray*}$ ist klar
$\begin{eqnarray*} V_{1} \end{eqnarray*}$ ist eigentlich auch auch klar. $\begin{eqnarray*} 0=a_{0}1 + a_{1}x \end{eqnarray*}$

nun müsste ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} V_{n+1} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig ist.

Das wäre also:
$\begin{eqnarray*} 0 = x \sum_{i=0}^n a_{i}x^{i} + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}x^{k} \end{eqnarray*}$

Nur wie zeige ich jetzt, dass das lin. unabhängig ist? Oder liege ich jetzt total daneben?

23.11.2013, 22:20

jimmyt

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RE: Basis Vektorraum (rekursiv gebildeter Polynom)

Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Beweisen sie, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bilden.
...
Nun habe ich mir überlegt, dass man das vielleicht irgendwie über vollständige Induktion machen kann.
...
Nur wie zeige ich jetzt, dass das lin. unabhängig ist? Oder liege ich jetzt total daneben?

Hi,

also die Idee mit der vollständigen Induktion ist gut, aber zunächst nochmal zum Verständnis:
Meiner bescheidenen Meinung nach ist die Aufgabe zu beweisen, daß $\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bildet.
Du versuchst dagegen zu beweisen, daß $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist.
Ich würde wie folgt vorgehen: smile

Induktionanfang:
(I.A.) Induktionanker mit n=0:
$\begin{eqnarray*} \{ p_0\} ~\stackrel{L.K.}{=}~ a_0 \cdot p_0 ~=~ a_0 \cdot 1 ~=~ a_0 ~=~ V_0 ~=~ \sum_{i=0}^0 a_ix^i ~=~ a_0 \cdot x^0 ~=~ a_0 \cdot 1 \quad \checkmark \end{eqnarray*}$
Induktionschlußfolgerung:
(I.V.) Induktionannahme:
für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ wird angenommen, daß gilt: $\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ ist Basis von $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$

(I.B.) Induktionbehauptung:
für das Nachfolgeelement n+1 muß dann gelten: $\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n}, p_{n+1} \right\} \end{eqnarray*}$ ist Basis von $\begin{eqnarray*} V_{n+1} \end{eqnarray*}$

(I.S.) Induktionschritt: aus (I.V.) folgt (I.B.):
n -> n+1:
$\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n}, p_{n+1} \right\} ~=~ \dots ~\stackrel{I.V.}{=}~ \dots ~=~ V_{n+1} \end{eqnarray*}$ Freude

24.11.2013, 00:29

Schattenwolf

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Danke für die Antwort.

Erst mal, muss ich nicht sogar 2 IVs haben? Immerhin sind $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ per definition erklärt und erst ab $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ rekursiv.

Aber geht es nicht in einer Basis genau darum, dass man linear unabhängig Vektoren hat? Ich hatte mir jetzt irgendwie gedacht, dass man zeigen kann, dass alle Vektoren der Reihe lin. unabhängig sind.

Also mit deinem Induktionsschritt würde ich da jetzt sagen
$\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n+1}\right\} = 1 + x+ \sum_{i=2}^{n+1} (x * p_{i-1}(x) - p_{i-2}(x))=...=V_{n+1}=\sum_{i=0}^{n+1} a_{i}x^{i} \end{eqnarray*}$
Meinst du so?

24.11.2013, 01:14

jimmyt

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Zitat:

Original von Schattenwolf
Danke für die Antwort.
...

Gerne geschehen. Freude

Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Erst mal, muss ich nicht sogar 2 IAs haben? Immerhin sind $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ per definition erklärt und erst ab $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ rekursiv.
...

Stimmt, da habe ich jetzt gar nicht drauf geachtet, ist aber auch nicht weiter schwer:

n=1:
$\begin{eqnarray*} \{ p_0, p_1\} ~\stackrel{L.K.}{=}~ a_0 \cdot p_0 + a_1 \cdot p_1 ~=~ a_0 + a_1 \cdot x ~=~ V_1 ~=~ \sum_{i=0}^1 a_ix^i ~=~ a_0 \cdot x^0 + a_1 \cdot x^1 \quad \checkmark \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Aber geht es nicht in einer Basis genau darum, dass man linear unabhängig Vektoren hat? Ich hatte mir jetzt irgendwie gedacht, dass man zeigen kann, dass alle Vektoren der Reihe lin. unabhängig sind.
...

Ja schon, aber $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ ist doch gegeben. Beweisen sollst du es für $\begin{eqnarray*} \{p_0, \dots , p_n\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Also mit deinem Induktionsschritt würde ich da jetzt sagen
$\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n+1}\right\} = 1 + x+ \sum_{i=2}^{n+1} (x * p_{i-1}(x) - p_{i-2}(x))=...=V_{n+1}=\sum_{i=0}^{n+1} a_{i}x^{i} \end{eqnarray*}$
Meinst du so?

Naja, den kompletten Induktionschritt darf ich nicht posten. Siehe Boardprinzip.
Aber anfangen würde ich so:
$\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ..., p_{n+1}\right\} ~\stackrel{L.K.}{=}~ \textcolor{red}{a_0 \cdot p_0 + \dots + a_n \cdot p_n} + a_{n+1} \cdot p_{n+1} ~\stackrel{I.V.}{=}~\dots \end{eqnarray*}$

Schau dir mal den rot markierten Teil an. smile

24.11.2013, 14:18

Schattenwolf

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Ich glaube Mathe liegt mir nicht^^

Also würde ich jetzt sagen:
$\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ... p_{n+1}\right\} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} p_{i} + a_{n+1} p_{n+1} \end{eqnarray*}$

Und das müsste nach der Bildungsvorschrift von $\begin{eqnarray*} p_{n+1} \end{eqnarray*}$ so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} a_{i} p_{i} + a_{n+1} p_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} p_{i} + a_{n+1}*(x* p_{n} - p_{n-1}) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} p_{i} + a_{n+1}*(x* \sum_{i=0}^{n} a_{i} p_{i} - \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} p_{i}) \end{eqnarray*}$

Und das ist:
$\begin{eqnarray*} = \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} + a_{n+1}*(x* \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} - \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i}) \end{eqnarray*}$

aber irgendwie scheint das auch falsch zu sein...

24.11.2013, 15:03

jimmyt

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Zitat:

Original von Schattenwolf
Ich glaube Mathe liegt mir nicht^^
...

Alles nur Übungsache. ^^
Nur nicht aufgeben, jeder hat schon Fehler gemacht und aller Anfang ist schwer. smile

Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Also würde ich jetzt sagen:

$\begin{eqnarray*} \left\{ p_{0}, ... p_{n+1}\right\} = \textcolor{red}{\left ( \sum_{i=0}^{n} a_{i} p_{i} \right )} + a_{n+1} p_{n+1} \end{eqnarray*}$
...

Das ist schon mal ok.
Es ist gut, wenn man die Induktionvoraussetzung während des Induktionschrittes irgendwann einsetzt.
Schau dir mal den rot markierten Teil an. Was ist das denn?
Also ich meine, was haben wir denn in der Induktionvoraussetzung angenommen? Freude

24.11.2013, 15:32

Schattenwolf

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Zitat:

Original von jimmyt
Alles nur Übungsache. ^^
Nur nicht aufgeben, jeder hat schon Fehler gemacht und aller Anfang ist schwer.

Ja, nur habe ich nicht mehr viel Zeit um es zu können.^^

Zitat:

Original von jimmyt
Schau dir mal den rot markierten Teil an. Was ist das denn?
Also ich meine, was haben wir denn in der Induktionvoraussetzung angenommen?

Das sollte ja die Basis für $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$ sein. Aber ich weiß einfach nicht, wie ich nun darauf komme, dass das ganze eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist. Erstaunt1

24.11.2013, 16:34

jimmyt

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Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Das sollte ja die Basis für $\begin{eqnarray*} V_{n} \end{eqnarray*}$ sein.
...

Sehr gut.

Dann hast du es schon fast.
Ich schreibe das, was du gepostet hast, mal in Kurzform so hin:

$\begin{eqnarray*} \dots ~=~ \left ( \sum_{i=0}^n a_i \cdot \textcolor{red}{p_i}\right ) + a_{n+1} \cdot p_{n+1} ~\stackrel{I.V.}{=}~ V_n + a_{n+1} \cdot p_{n+1} ~\stackrel{I.V.}{=}~ \left ( \sum_{i=0}^n a_i \cdot \textcolor{red}{x_i}\right ) + a_{n+1} \cdot p_{n+1} ~\stackrel{I.B.}{=}~ \dots \end{eqnarray*}$

Wie gesagt:
Du sollst von der Induktionvoraussetzung, von der du annimmst, daß sie stimmt, auf die Induktionbehauptung logisch schlußfolgern.
Wenn die I.V. für ein n stimmt, dann muß auch die I.B. für das Nachfolgeelement n+1 stimmen.
Wenn dann noch der eine oder die zwei Induktionanker (meistens sind es nur ein oder zwei) stimmen, was sie ja in unserem Fall tun, dann stimmt es für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Freude

24.11.2013, 17:43

Schattenwolf

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mmm, das is ja nun genau der Punkt, wo ich nicht weiter komme.

Mir würde nur noch einfallen, dass das so weiter gehen könnte.
$\begin{eqnarray*} ( \sum_{i=1}^{n} a_{i} x^{i} ) + a_{n+1} p_{n+1} = ( \sum_{i=1}^{n} a_{i} x^{i} ) + a_{n+1} * (x * p_{n} - p_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Jetzt würde mir noch einfallen. dass $\begin{eqnarray*} p_{n} \end{eqnarray*}$ ein Polynom n-Grades ist und $\begin{eqnarray*} p_{n+1} \end{eqnarray*}$ deswegen n+1-Grades wird. Und da die Basis aus der IV nur Polynome bis zum Grad n hat, müsste $\begin{eqnarray*} p_{n+1} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig zu allen Basisvektoren sein und damit zusammen mit der alten Basis eine neue Basis bilden.

24.11.2013, 18:30

jimmyt

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Zitat:

Original von Schattenwolf
mmm, das is ja nun genau der Punkt, wo ich nicht weiter komme.
...

Ok, folgendes:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} (A ~\implies~ B) ~\Longleftrightarrow~ (\neg B ~\implies~ \neg A) \end{eqnarray*}$
Dafür nochmal ein extra Dankeschön an George Boole. smile

Aus der I.V. muß die I.B. folgen.
Also:

$\begin{eqnarray*} A ~=~ \text{I.V. stimmt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B ~=~ \text{I.B. stimmt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\text{I.V. stimmt} ~\implies~ \text{I.B. stimmt}) ~\Longleftrightarrow~ (\neg (\text{I.B. stimmt}) ~\implies~ \neg (\text{I.V. stimmt})) ~\Longleftrightarrow~ (\text{I.B. stimmt nicht} ~\implies~ \text{I.V. stimmt nicht}) \end{eqnarray*}$

Du hast ja richtigerweise erkannt, daß man während des Induktionschrittes die I.V. einsetzen kann.
Jetzt haben wir noch $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ (die I.V.) plus $\begin{eqnarray*} a_{n+1}p_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Da wir annehmen, daß die I.V. stimmt, muß auch die I.B. stimmen. Und wenn wir zu der I.V. $\begin{eqnarray*} a_{n+1}p_{n+1} \end{eqnarray*}$ hinzunehmen, dann haben wir genau die I.B.
Damit wurde gezeigt, daß für ein beliebiges n aus der I.V. die I.B. für das Nachfolgeelement n+1 folgt.
Dazu haben wir zwei Induktionanker, n=0 und n=1. Beide Male paßt es auch.
Also gilt es für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Fertig.

Nur die Notation von mir ist nicht ganz korrekt, glaube ich zumindest.
Ich habe immer das "="-Zeichen benutzt. Ich glaube es ist besser, daß mit ein paar warmen Worten zu beschreiben.
Also bspw. daß $\begin{eqnarray*} \{p_0, \dots, p_n\} \end{eqnarray*}$ laut Induktionvoraussetzung eine Basis für $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ bildet.

Zitat:

Original von Schattenwolf
...
Jetzt würde mir noch einfallen. dass $\begin{eqnarray*} p_{n} \end{eqnarray*}$ ein Polynom n-Grades ist und $\begin{eqnarray*} p_{n+1} \end{eqnarray*}$ deswegen n+1-Grades wird. Und da die Basis aus der IV nur Polynome bis zum Grad n hat, müsste $\begin{eqnarray*} p_{n+1} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig zu allen Basisvektoren sein und damit zusammen mit der alten Basis eine neue Basis bilden.

Klingt nicht schlecht, zusammen mit dem, was ich dir oben geschrieben habe, müßte es passen. Freude

24.11.2013, 20:05

Schattenwolf

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ok, jetzt habe ich es glaube verstanden. Danke sehr. smile

24.11.2013, 23:41

jimmyt

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Gerne geschehen. smile

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