Kleine Frage zu Stichproben

23.11.2013, 18:49

RAP

Kleine Frage zu Stichproben

Guten Abend,

ich habe eine Frage zu Stichproben und Grundgesamtheit. Vielleicht steh ich da grad einfach auf dem Schlauch, aber ich möchte das gerne genauer klären.

Wenn es immer heißt: "Eine Stichprobe $\begin{eqnarray*} $x_{1},...,x_{n}$ \end{eqnarray*}$ aus der Grundgesamtheit, ist dann damit immer $\begin{eqnarray*} $x_{1}(\omega),..., x_{n}(\omega)$ \end{eqnarray*}$ also für ein fixiertes $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ gemeint?

Ich Frage deshalb, weil bei solchen Beispielen, etc. nie mehr explizit von dem Ereignisraum die Rede ist. Sehe ich das richtig, dass bei z.B. statistischen Beispielen oder stochastischen Prozessen der Ereignisraum $\begin{eqnarray*} $\Omega$ \end{eqnarray*}$ immer aus Attributen besteht?
So nach dem Motto: An einer Institution arbeiten 10 000 Mitarbeiter - wie viele sind weiblich? Dann das Modell $\begin{eqnarray*} $\Omega= \{ Geschlecht\}$ \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} $1$ \end{eqnarray*}$ für weiblich, $\begin{eqnarray*} $0$ \end{eqnarray*}$ für männlich. Dann betrachte die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} $x_{1},...,x_{n}$ \end{eqnarray*}$ , also die Stichprobe aus der Grundgesamtheit ( $\begin{eqnarray*} $n \leq 10 000$ \end{eqnarray*}$ ) mit $\begin{eqnarray*} $P(x_{i}=1)=P(x_{i}=0)=\frac{1}{2}$ \end{eqnarray*}$ .

Und falls ggf. noch andere Eigenschaften interessieren, kann man die Grundmenge erweitern (z.B. Größe, Gewicht,...).

Ist das so, d.h. vor allem: Ist das $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ immer fixiert?

25.11.2013, 11:56

RAP

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Ich denke, ich weiß jetzt, wie das ist. Trotzdem bitte ich um (mindestens Augenzwinkern

) eine zweite Meinung.

Betrachte allgemein eine Funktion $\begin{eqnarray*} $X: \Omega \times T \rightarrow \mathbb{R}$ \end{eqnarray*}$ und nehmen wir mal vereinfacht den diskreten Fall an, d.h. $\begin{eqnarray*} $T \subset \mathbb{N}$ \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist dann, wie sieht $\begin{eqnarray*} $X(\omega,t) = X_{t}(\omega)$ \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} $\omega \in \Omega$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $t \in T$ \end{eqnarray*}$ aus bzw. um auf meine Frage zurückzukommen: Ist $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ fixiert bzw. wann ist es fixiert?

Nach einigen Überlegungen kam ich dazu:
1) Wenn $\begin{eqnarray*} $t$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ fixiert sind, so ist $\begin{eqnarray*} $X_{t}(\omega)$ \end{eqnarray*}$ einfach eine reelle Zahl

2) Wenn $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ fixiert ist und $\begin{eqnarray*} $t$ \end{eqnarray*}$ variabel ist, so ist $\begin{eqnarray*} $X_{t}(\omega)$ \end{eqnarray*}$ eine Zeitreihe.

3) Wenn $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ variabel ist und $\begin{eqnarray*} $t$ \end{eqnarray*}$ fest, so ist $\begin{eqnarray*} $X_{t}(\omega) = X(\omega)$ \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable

4) Wenn beide variabel bzw. zufällig sind, so ist $\begin{eqnarray*} $X_{t}(\omega)$ \end{eqnarray*}$ ein stochastischer Prozess.

Macht Sinn, oder?

25.11.2013, 13:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von RAP
Wenn es immer heißt: "Eine Stichprobe $\begin{eqnarray*} $x_{1},...,x_{n}$ \end{eqnarray*}$ aus der Grundgesamtheit, ist dann damit immer $\begin{eqnarray*} $x_{1}(\omega),..., x_{n}(\omega)$ \end{eqnarray*}$ also für ein fixiertes $\begin{eqnarray*} $\omega$ \end{eqnarray*}$ gemeint?

Man unterscheidet begrifflich die mathematische Stichprobe $\begin{eqnarray*} X=(X_1,X_2,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$ - charakterisiert durch unabhängig, identisch verteilte Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ (deren Verteilung der sog. Grundgesamtheit entspricht) - von einer konkreten Stichprobe $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ . Letztere fasst man dann in der Tat als Realisierung der mathematischen Stichprobe auf, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = X(\omega) \end{eqnarray*}$ .

In deinem zweiten Beitrag hast du die Situation im großen und ganzen richtig erfasst, wobei du an der Stelle plötzlich von Zeitreihe anstelle Stichprobe sprichst - bei ersterer hat man i.d.R. keine Unabhängigkeit, und oft auch keine identische Verteilung.

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