Kartesische Ebene erfüllt Inzidenzaxiome

23.11.2013, 19:51	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Kartesische Ebene erfüllt Inzidenzaxiome Meine Frage: Hallo Leute, Es sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Köprer. Es sei $\begin{eqnarray} K^2 \end{eqnarray}$ die Menge der Punkte und es seien die Geraden die Lösungsmenge linearer Gleichungen der Form: $\begin{eqnarray} ax + by + c = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b,c \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ nicht beide Null. Dies nennt man eine kartesische Ebene über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Kartesische Ebene die Inzidenzaxiome erfüllt. Meine Ideen: Also mal (I1): $\begin{eqnarray} \forall a,b \in K^2, a \neq b \ \exists ! g \in G : a,b \in g \end{eqnarray}$ Also für 2 Punkte aus der Ebene existiert genau eine Gerade die die beiden Punkte enthält. Aber wie zeige ich das jetzt mathematisch, anschaulich ist das ja klar Danke für die Hilfe EDIT: Also über die zwei Punktformel bin ich jetzt mal so weit gekommen zu sagen, dass für $\begin{eqnarray} P = (x_1,y_1) , Q = (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ beide auf der Gerade g mit: $\begin{eqnarray} (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (y_2-y_1)x_1 - y_1(x_2-x_1) = 0 \end{eqnarray}$ liegen. Also wenn ich hier jetzt für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ jeweils $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ respektive $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ einsetze und auch $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ respektive $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ kommt Null raus. Damit wäre die Existenz mal erledigt. Für die Eindeutigkeit bin ich jetzt so vorgegangen, dass ich die Punkte $\begin{eqnarray} P,Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P = (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q = (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ betrachtet haben, die auf der Geraden: $\begin{eqnarray} ax+by +c = 0 \end{eqnarray}$ liegen. Jetzt nehme ich an, dass sie auf einer zweiten Gerade liegen, dich mit $\begin{eqnarray} \tilde a x + \tilde b y + \tilde c = 0 \end{eqnarray}$ bezeichne. Es gilt ja dann: $\begin{eqnarray} ax_1+by_1 +c = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [l] ax_2+by_2 +c = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde a x_1 + \tilde b y_1 + \tilde c = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde a x_2 + \tilde b y_2 + \tilde c = 0 \end{eqnarray}$ , wenn man das jetzt ein bisschen umformt und Gleichsetzt bekommt man lauter Wiederpsrüche zur Annahme, dass Die Punkte verschieden sind, also $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 = y_2 \end{eqnarray}$ kann nicht gleichzeitig gelten. Genau so ist ja auch nach Annahme: $\begin{eqnarray} a \neq \tilde a \end{eqnarray}$ usw. Damit wäre doch dann auch die Eindeutigkeit gezeigt oder? Danke vielmals.

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