Faltung Cauchyverteilung

23.11.2013, 22:24	Nici 5	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Cauchyverteilung Meine Frage: Hallo miteinander Ich komm bei einer Aufgabe nicht weiter und bin für jeden Tipp sehr dankbar. Ich soll zeigen, dass wenn zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X1 Cauchyverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} (\alpha _{1} \beta _{1}) \end{eqnarray}$ und X2 Cauchyverteilt mit Paramater $\begin{eqnarray} (\alpha _{2} \beta _{2}) \end{eqnarray}$ sind, auch die Faltung cauchyverteilt ist mit Parameter $\begin{eqnarray} (\alpha _{1}+\alpha _{2} , \beta _{1}+\beta _{2} ) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Da meine Zufallsvariablen stochatisch unabhängig benutze ich für die Faltung folgendes: $\begin{eqnarray} \int \! f^{X1} ( t) f^{X2}(y-t) \, dt \end{eqnarray}$ . Dann ausgenutzt, dass X1 und X2 Cauchyverteilt sind und deren Funktiondichten eingesetzt. Jetzt komm ich zum Punkt, wo mir der Hinweis auf dem Blatt hilft und zwar: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{((x-r1)^2+s1^2)((x-r2)^2+s2^2} \, dx =\pi \frac{(s1+s2)[(r1-r2)^2+(s1-s2)^2]}{(s1s2)[(r1-r2)^4+2(s1^2+s2^2)(r1-r2)^2+(s1^2-s2^2)^2]} \end{eqnarray}$ . Also wenn ich die Dichtefunktionen einsetze und die Konstanten vor dem Integral hervorziehe, komm ich genau auf die Formel aus dem Hinweis, nur steht an Stelle des Ersten x mein t steht und fürs zweite x y-t. Jetzt stellt sich für mich die Frage, ob sich die Gleichung auf der rechten Seite nicht ändert,wenn ich nach t integriere und fürs zweite x y-t stehen habe. Falls nicht, weiß ich wirklich nicht wie ich mit diesen langen Term weiter arbeiten soll.
24.11.2013, 15:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
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