Goniometrische Gleichung lösen

24.11.2013, 09:06

MMchen60

Goniometrische Gleichung lösen

Hallo,
gibt es einen rechnerischen Nachweis über die Additionstheoreme für
$\begin{eqnarray*} \sin(x) *(\sin(x) +cos(x))= 1 \end{eqnarray*}$ ?
Ich konnte das nur logisch lösen mit
$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ denn
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi}{4} )*(\sin(\frac{\pi}{4} )+cos(\frac{\pi}{4} ))= \frac{1}{2}*\sqrt{2}*(\frac{1}{2}*\sqrt{2} + \frac{1}{2}*\sqrt{2})=1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi}{2} )*(\sin(\frac{\pi}{2} )+cos(\frac{\pi}{2} ))= 1*(1+0)=1 \end{eqnarray*}$
Besten Dank für schnelle Antwort.

24.11.2013, 09:32

Helferlein

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Multipliziere die linke Seite aus und nutze rechts den trigonometrischen Pythagoras.

24.11.2013, 09:34

Nubler

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x=0

24.11.2013, 09:44

Leopold

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Die beiden Antworten von Helferlein und Nubler zeigen, was passiert, wenn eine Aufgabe nicht klar formuliert ist. Während Helferlein sie als eine zu lösende Gleichung verstand, sah Nubler sie als Formel an. Das war auch meine erste Interpretation. Und als Formel ist das natürlich falsch, wie Nublers kurzer Hinweis zeigt.
Was ist also nun die Aufgabe?

EDIT
Und jetzt ist Nublers Antwort auf einmal wegredigiert worden ... na so was ...

24.11.2013, 10:02

Helferlein

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@Leopold:
Der Beitrag von Nubler wurde in den Spam-Ordner verschoben, da er nur aus einer kurzen Gleichung besteht. Um den Zusammenhang nicht zu zerreißen, habe ich ihn wieder hergestellt.

24.11.2013, 11:13

MMchen60

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Zitat:

Original von Helferlein
Multipliziere die linke Seite aus und nutze rechts den trigonometrischen Pythagoras.

Dann erhalte ich nach entsprechender Umformung
$\begin{eqnarray*} \sin(x)\cdot \cos(x)=\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ und das hilft mir auch nicht weiter.

24.11.2013, 20:13

Helferlein

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Zitat:

Original von MMchen60
und das hilft mir auch nicht weiter.

Dann erlaube ich mir, den Thread in den Schulbereich zu verschieben, denn ein Hochschüler sollte mit dieser Gleichung schon etwas anfangen können.

Kannst Du Gleichungen der Art ax=x² lösen? Wenn ja, dann versuche Gemeinsamkeiten zu unserer Gleichung zu entdecken. Sie ist sehr ähnlich zu lösen.

25.11.2013, 11:35

MMchen60

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Zitat:

Dann erlaube ich mir, den Thread in den Schulbereich zu verschieben, denn ein Hochschüler sollte mit dieser Gleichung schon etwas anfangen können.
Kannst Du Gleichungen der Art ax=x² lösen? Wenn ja, dann versuche Gemeinsamkeiten zu unserer Gleichung zu entdecken. Sie ist sehr ähnlich zu lösen.

OK, trotzdem danke, dann für die Nachwelt:
$\begin{eqnarray*} \sin(x) \cdot \cos(x)=cos^2(x) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(x) =\cos(x) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi}{4} x_2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

25.11.2013, 11:58

HAL 9000

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Da die vielen Helfer von gestern momentan alle nicht da zu sein scheinen, vertrete ich mal kurz:

Zitat:

Original von MMchen60
OK, trotzdem danke, dann für die Nachwelt:
$\begin{eqnarray*} \sin(x) \cdot \cos(x)=cos^2(x) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(x) =\cos(x) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Ein häufig zu sehender Fehler: Einfach mal durch $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ dividieren, ohne zu beachten, dass auch dieser Term Null werden kann! Augenzwinkern

"Sauber" wäre es so

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \cdot \cos(x) = \cos^2(x) \;\Rightarrow\; (\sin(x)-\cos(x)) \cdot \cos(x) = 0 \;\Rightarrow\; \left[ \sin(x)-\cos(x) = 0 \;\vee\; \cos(x) = 0 \right] \end{eqnarray*}$
("ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist.")

Der erste Fall $\begin{eqnarray*} \sin(x)-\cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$ führt über $\begin{eqnarray*} \tan(x)=1 \end{eqnarray*}$ auf die Lösungsschar $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \end{eqnarray*}$ .

Der zweite Fall $\begin{eqnarray*} \cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{eqnarray*}$ (in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ganzzahlig) .

27.11.2013, 07:40

MMchen60

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Ich habe ja garnicht durch $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ dividiert, sondern entsprechend $\begin{eqnarray*} a\cdot x=x^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a=\cos(x) \end{eqnarray*}$ gesetzt, damit die Gleichung erfüllt ist.
Die zweite Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus der Ursprungsgleichung $\begin{eqnarray*} \sin(x) cos(x) = cos^2(x) \end{eqnarray*}$ .

27.11.2013, 07:51

HAL 9000

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Na gut, du hast "nicht dividiert". Dann hast du eben aus anderen Gründen hier

Zitat:

Original von MMchen60
$\begin{eqnarray*} \sin(x) \cdot \cos(x)=cos^2(x) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sin(x) =\cos(x) \end{eqnarray*}$

falsch geschlossen.

28.11.2013, 09:01

MMchen60

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Ich denke nicht, dass ich da falsch geschlossen habe.
Wenn ich in der Gleichung $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ ersetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} cos^2(x)=cos^2(x) \end{eqnarray*}$ . Also ist die Gleichung erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} sin(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$ .
Übrigens, die Funktion hat eine Periode von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , sodass die Lösungen der Ursprungsgleichung $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{eqnarray*}$ lauten müssen mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

28.11.2013, 09:07

HAL 9000

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Zum ersten Punkt sage ich inhaltlich nix mehr, denn alle Argumente liegen schon lange auf dem Tisch - du bist halt so renitent, dass du den Fehlschluss nicht einsiehst und mit Verweis auf ganz andere, hier gar nicht zur Debatte stehende Punkte abzulenken versuchst.

Zitat:

Original von MMchen60
Übrigens, die Funktion hat eine Periode von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , sodass die Lösungen der Ursprungsgleichung $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{eqnarray*}$ lauten müssen mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Soso, bei dir sind also z.B. die Werte

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} + 1\cdot \pi = \frac{5\pi}{4} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + 1\cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

keine Lösungen? Na dann setz mal ein.

P.S.: Falls du mit Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sin(x)\cdot (\sin(x)+\cos(x)) \end{eqnarray*}$ meinen solltest, die hat tatsächlich die Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Entscheidend ist aber, dass ihre kleinste Periode nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist. Wenn man so besserwisserisch auftritt wie du, dann sollte man auch stichhaltige Argumente auf seiner Seite haben.

28.11.2013, 13:34

mYthos

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
du bist halt so renitent, dass du den Fehlschluss nicht einsiehst ...

Sicher meintest du "resistent", im Sinne von beratungsresistent (widerstandsfähig, haha)

Ich möchte überdies da jetzt eingreifen und einen Ordnungsruf erteilen:
Leider ist der Thread von allen Anfang an wegen Missverständnissen fehlgelaufen und dann musste zum Schluss noch ein verbaler Schlagabtausch erfolgen.
Ein Beispiel, wie es in unserem Board NICHT vorkommen sollte.

@MMchen60
Du bist ja nicht mehr ganz neu hier und solltest daher wissen, wie es läuft.
Wenn du Hilfe erwartest, komme bitte von deiner Uneinsichtigkeit runter und gehe mehr auf die Argumente der Helfer ein. Ausserdem solltest du die Aufgabe so stellen, dass ersichtlich ist, was gefragt ist.
Sicher NICHT, um ein Additionstheorem zu beweisen, das ist gänzlich daneben, sondern einfach, um die goniometrische Gleichung zu lösen.
In diesem Sinne ist auch der Titel "Rechennachweis sin(x)*(sin(x)+cos(x))=1" vollkommen verkehrt, weil dessen Aussage schlicht und ergreifend falsch ist; ich werde ihn daher entsprechend modifizieren.

mY+

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