Lösung eines nichtlinearen LGS analytisch

24.11.2013, 12:38	FloTU	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung eines nichtlinearen LGS analytisch Hallo ich komme hier einfach nicht weiter: Ich soll folgendes LGS analytisch lösen, es sind auch tipps gegeben die folgen sind: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1}^2+x_{2}^2-16 \\ (\sqrt{3} +1)x_{1}^2+4x_{2}-12\sqrt{3}-4\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ 1. aus der 1-ten Komponente erhält man $\begin{eqnarray} x_{1}^2 \end{eqnarray}$ 2. setzt man $\begin{eqnarray} x_{1}^2 \end{eqnarray}$ in die Gleichung für die zweite Komponente ein und beachtet das $\begin{eqnarray} 7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3+\sqrt{3}=sqrt(3)(\sqrt{3}+1) \end{eqnarray}$ gilt, so folgt schnell die Lösung. Ich habe das auch so nach den tipps probiert aber ich komme nicht auf ein geeignetes Ergebniss: $\begin{eqnarray} x_{1}^2=-x_{2}^2+16 \end{eqnarray}$ einsetzen in Gleichung 2: $\begin{eqnarray} -x_{2}^2\sqrt{3}+16\sqrt{3}-x_{2}^2+16+4x_{2}^2-12\sqrt{3}-4=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x_{2}^2(\sqrt{3}+1)+4x_{2}+4\sqrt{3}+12=0 \end{eqnarray*}$ Ich habe jetzt hierauf die PQ-Formel angewendet und wenn ich das mache bekomme ich zwei Lösungen im Komplexen. Ich glaube nicht das ich so auf dem richtigen Weg bin kann mir jemand hier vielleicht bitte helfen ? Danke
24.11.2013, 13:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Umformung ist richtig und auch die letzte (quadratische) Gleichung. Diese hat jedoch reelle Lösungen; rechne also nochmals nach! Tipp: Multipliziere die Gleichung noch mit (-1) mY+
24.11.2013, 13:46	FloTU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_{2}^2-\frac{4x_{2}}{\sqrt{3}+1}-\frac{4\sqrt{3}-12}{\sqrt{3}+1} \end{eqnarray}$ Also meine pq formel nach umformen sieht dann folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} x_{1,2}= \frac{4}{2(\sqrt{3}+1)} \pm \sqrt{\frac{4}{2(\sqrt{3}+1)}^2+\frac{4\sqrt(3)-12}{\sqrt{3}+1}} \end{eqnarray*}$ Da bekomme ich irgendwie unter der Wurzel etwas negatives ?
24.11.2013, 14:06	FloTU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet und bin auf folgende Lösungen gekommen: $\begin{eqnarray} x_{1}=\frac{4+\sqrt{16+32\sqrt(3)}}{2\sqrt{3}+2} = 2.278 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=\frac{4-\sqrt{16+32\sqrt(3)}}{2\sqrt{3}+2} = -0.814 \end{eqnarray}$ Ich habe mich nochmal verrechnet jetzt habe ich aber: x1 = $\begin{eqnarray} 2\sqrt(3) \end{eqnarray}$ x2 = $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ Die Lösung muss ich ja jetzt nur noch in die Gleichung 1 einsetzen und dann habe ich meine Lösungen.
24.11.2013, 17:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So stimmt es nun, diese Lösungen habe ich auch! mY+

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