Differentialoperator nicht stetig bezüglich L^2 Norm

24.11.2013, 16:02

ChronoTrigger

Differentialoperator nicht stetig bezüglich L^2 Norm

Hallo,

ich hänge momentan an folgender Aufgabe:

Zitat:

Zeigen Sie, dass der Differentialoperator $\begin{eqnarray*} T: C^1([-2,2]) \to L^2((-2,2)) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} T f(x):=f'(x), \, x \in [-2,2] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f \in C^1([-2,-2]) \end{eqnarray*}$ zwar linear, aber nicht stetig ist bezüglich der $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ Norm in Bild- und Urbildraum.

Als Hinweis zu der Aufgabe ist noch folgendes angegeben: Sie können zum Beispiel eine Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \in C_0^\infty([-2,2]) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| \geq 1 \end{eqnarray*}$ geeignet skalieren, um eine auf Eins normierte Funktionenfolge zu konstruieren, entlang derer die Bilder dieser Folge beliebig große Normen erreichen. Sie können die Existenz einer solchen Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ohne Beweis annehmen.

Die Linearität des Operators $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ habe ich bereits zeigen können, aber zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist, bereitet mir Probleme, da mir noch nicht klar ist, wie ich (dem Hinweis zufolge) eine geeignete Funktionenfolge mit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ konstruieren kann.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier vorgehen kann?

Vielen Dank schonmal im Voraus.

24.11.2013, 16:44

Ungewiss

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Funktionalanalysis in Aachen smile

Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wie in dem Hinweis ist und ohne Einschränkung schon $\begin{eqnarray*} \| \varphi \|_2=1 \end{eqnarray*}$ gilt, was erfüllt dann die Folge $\begin{eqnarray*} \varphi_n := x\mapsto n \varphi(n^2x) \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2013, 17:59

ChronoTrigger

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danke für den Tipp.

Ja, FA in Aachen Wink

Mit $\begin{eqnarray*} \varphi_n(x):=n \varphi(n^2x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [-2,2] \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} T \varphi_n(x) = n^3 \varphi'(n^2x) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \| T \varphi_n \|_{L^2}^2 = \int_{-2}^2 | T \varphi_n|^2 \, dx = n^6 \int_{-2}^2 | \varphi_n' (n^2x) |^2 \, dx. \end{eqnarray*}$

Mir ist gerade allerdings noch nicht klar, wie ich jetzt damit zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \| T \varphi_n \|_L^2 \end{eqnarray*}$ beliebig groß wird.

24.11.2013, 19:04

Ungewiss

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Man könnte geeignet substituieren, um das ganz auf ein Integral über $\begin{eqnarray*} \varphi ' \end{eqnarray*}$ zurückzuführen (warum ist die L2 Norm dieser Ableitung ungleich 0?) und ebenso kann man sich durch eine Substitution davon überzeugen, dass die Folge normiert ist.

In deiner letzten Zeile ist auch ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu viel im Index.

25.11.2013, 13:29

ChronoTrigger

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Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=n^2x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \| \varphi_n \|_{L^2}^2 = n^2 \int_{-2}^2 | \varphi(n^2 x ) |^2 \, dx = \int_{-2n^2}^{2n^2} |\varphi(u)|^2 \, du = \| \varphi \|_{L^2}^2 = 1 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ schon ohne Einschränkung normiert ist. Mit der gleichen Substitution erhalte ich für die Ableitung
$\begin{eqnarray*} \|T \varphi_n\|_{L^2}^2 = n^6 \int_{-2}^2 | \varphi'(n^2x) |^2 \, dx = n^4 \int_{-2n^2}^{2n^2} |\varphi'(u) |^2 \, du = n^4 \| \varphi' \|_{L^2((-2n^2,2n^2))}^2 \end{eqnarray*}$ , nur warum die Norm der Ableitung jetzt beliebig groß werden kann bzw. ungleich 0 ist, sehe ich jetzt immer noch nicht.

25.11.2013, 13:38

Ungewiss

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Die L2 Norm der Ableitung ist irgendeine Konstante, falls diese 0 wäre, so wäre die Ableitung selbst 0 ( für stetige Funktionen ist die L2 Norm wirklich eine Norm, d.h definit) und damit die Funktion Konstant, das kann aber nicht sein.

Und die Folge $\begin{eqnarray*} (n^4c) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ unbeschränkt.
.

25.11.2013, 13:57

ChronoTrigger

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alles klar, vielen dank für deine Hilfe Freude

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