Folgenkonvergenz (Nullfolge) zeigen

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epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz (Nullfolge) zeigen
Meine Frage:
Hallo Board,

ich habe noch große Probleme damit, Folgenkonvergenz zu zeigen. So verständlich die Definitionen auch sind - Wenn es an die Anwendung geht, hab ich keinen Plan.

Es geht nun um die Folge:



Falls ich das mit Latex nicht korrekt hinbekommen habe, hier nochmal so:
k/(k+1)(k+2)(k+3)

Meine Ideen:
Ich habe bereits gezeigt, dass diese Folge monoton fallend ist.

Da die Folge monoton fallend ist, die Werte aber natürlich immer positiv bleiben, ist es logischerweise eine Nullfolge. Wie ich das mathematisch korrekt und sauber zeigen kann, weiß ich allerdings nicht.

Diese Umformung mit dem epsilon bereitet mir Probleme.

Bisher habe ich:

Sei > 0, dann gilt:



Nun muss gezeigt werden, dass < ist.

Und da bin ich raus.

Das ständige Durchlesen der Definitionen im Schneckentempo bringt mich nicht weiter, wenn es um die Anwendung geht. Wenn ich mir im Internet Beispiele anschaue, werden die Schritte kaum erklärt (zumindest nicht so, dass ich nachvollziehen kann, was da passiert).

Kann mir jemand helfen, bitte?

LG
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo epsilon111,

Zitat:
Nun muss gezeigt werden, dass < ist.


Das deutet darauf hin, dass du die Definition noch nicht richtig verstanden hast.

Kannst du denn mit dem Epsilonverfahren zeigen, dass 1/n gegen 0 konvergiert?

Wenn ja, schreib es einmal sauber hier hin.

Grüße
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Der wesentliche Schritt ist, dass man durch nach oben abschätzt. Damit erleichtert sich die Wahl des .
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

@Romaxx:

Ich war da etwas zu schnell. Ich denke, statt n müsste dort stehen (manchmal auch n oder genannt).

Den Beweis für 1/n habe ich mir heute schon angeschaut, aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie (und warum) man da von < auf > kommt und wie es danach weitergeht.

Also weiß ich auch nicht, wie ich bei meiner jetzigen Aufgabe umformen muss und was genau die Konsequenzen daraus sind.



@Donquixote: Warum ? Ich glaube, bis ich selbst darauf kommen würde, ist es noch ein weiter Weg..
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

@Romaxx: In der Klammer sollte stehen: "Manchmal auch N oder ...", also groß N. Hatte mich vertippt.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird doch nur die Formel nach umgeformt verwirrt

Weil es nützlich ist, den Bruch nach oben abzuschätzen. Oder verstehst du nicht, wieso eine obere Schranke ist?
 
 
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

@Donquixote: Kannst du bzgl. der Umformung ausführlicher werden? Genau da liegt ja mein Problem. Ich weiß nicht, warum man was macht, wo man hinkommen will, und wie man es macht.

Also welche Formel genau soll nach umgestellt werden und was nicht? Wo ist der Fehler? Wie macht man es richtig? ...
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo epsilon111,

bitte schreibe mir doch einmal den Beweis für die angesprochene Folge und dessen Konvergenz auf. Anhand dieses Beweises würde ich dich bitten mir die Definition zu erklären.

@Donquixoze

Ich glaube wir müssen hier weiter vorne anfangen.

Grüße
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

@Romaxx: Das ist es ja, was ich nicht kann. Ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss, um die Konvergenz zu zeigen. Das ist aber das Ziel..

Ein riesengroßes Dankeschön schonmal, dass ihr euch überhaupt damit befasst!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo epsilon 111,

auch wenn du den Beweis noch nicht verstehst, bitte ich dich deinen Beweis einfach mal hier zu notieren.

Anschließend notiere hier bitte die Epsilon Definition, wie du sie vorgegeben bekommen hast und erkläre mir diese bitte in eigenen Worten.

Dadurch kann ich feststellen, wo es hängt.

Grüße
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann mal ausführlich. Wir wollen zeigen, dass
.
Wir geben uns ein beliebiges vor und müssen ein n_0 finden, sodass der Abstand zwischen den Folgengliedern und Grenzwert ab n_0 in einer Epsilonumgebung liegt.
Sei also . Dann gilt:

, denn wenn wir jeden Faktor im Nenner nach unten durch n abschätzen, wird der Bruch nur größer.

Auch wenn wir n_0 noch nicht konkret gewählt haben, so können wir sagen, dass mit analoger Begründung zu oben

Weil wir fordern, dass der Abstand echt kleiner als sein soll, muss demnach gelten. Indem wir diese Ungleichung nach n_0 umstellen, erhalten wir unser gewünschtes n_0, dass wir wählen müssen, damit ab diesem Folgenglied alle weiteren Folgenglieder in der geforderten Epsilonumgebung liegen.

Das ist jetzt sehr ausführlich, aber ich hoffe, dass der Groschen fällt, wie man so schön sagt. Ansonsten bin ich jetzt off und Romaxx darf gerne weitermachen.
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann leider erst gegen 20:30 Uhr weiter schreiben, werde mich auf jeden Fall melden!
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

@Romaxx: Gut, weiter geht's.

DEFINITION Folgenkonvergenz
Eine Folge heißt konvergent gegen a, falls gilt:
Für alle existiert ein mit der Eigenschaft < für alle .
Hierbei bezeichnet a den Grenzwert der Folge.
Kurz:

Erläuterung in eigenen Worten:
Da Epsilon einen Abstand beschreibt, ist es eine positive reelle Zahl. Ist eine Folge konvergent, dann gilt: Ab einem gewissen Folgenglied, das den Index besitzt, ist der Abstand von allen weiteren Folgengliedern zum Grenzwert kleiner als Epsilon. Diese Folgenglieder liegen in der sogenannten Epsilon-Umgebung, das heißt im Intervall .


So, nun geht es an die Folge . Der abgeschriebene Beweis steht in normaler Schrift da, meine Kommentare sind kursiv.

Durch das Einsetzen verschiedener n erhält man einige Folgenglieder und kann durch Betrachtung dieser einen Grenzwert vermuten. Da die Brüche immer kleiner werden, vermutet man, dass der Grenzwert Null ist.

Man gibt ein beliebiges vor, dann gilt:



Das heißt, dass der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert beträgt. Da nichtnegativ ist, kann man die Betragsstriche weglassen.

Man muss nun zeigen, dass . In der Definition der Folgenkonvergenz steht, dass zu jedem ein existiert. Dann geben wir doch einfach eins an.
Wir wählen so, dass ist, also .

So, Stopp. Das Prinzip dieser Umformung ist klar, in der mittleren Zeile bin ich mir hinsichtlich des Zeichens aber nicht sicher. Man rechnet also:
Das multipliziert man mit .
Dann hat man oder ? Da dividiert man durch Epsilon.
Und dann kommt man auf

Ich wähle den Index also so, dass das entsprechende Folgenglied kleiner als Epsilon ist, der Abstand von diesem Folgenglied (und allen darauf folgenden) zum Grenzwert also kleiner ist als der Abstand von Epsilon zum Grenzwert. Richtig?
Der Sinn der Umformung der Ungleichung nach erschließt sich mir noch nicht. Muss man das an dieser Stelle eines Beweises der Folgenkonvergenz immer so machen?

Weiter im Text.

Damit ergibt sich insgesamt für und damit ,

.

Folglich haben wir die Konvergenz der Folge gegen Null nachgewiesen.

Wo genau das Verständnisproblem an dieser Stelle liegt, kann ich nur schwer beschreiben. Ich will beweisen, dass alle n>n0 gegen Null konvergieren, und ich zeige das, indem das einfach so festlege. Hm?! Das wirkt so unvollständig, viel zu kurz. Und vor allem gibt es mir keinen Aufschluss darüber, was ich z.B. im Fall von meiner Aufgabe machen soll oder auch wenn man eine Folge a(n) = n² betrachtet.

Weiteres Problem: Der Sinn von der obigen Umformung nach erschließt sich mir noch nicht. Es wird im weiteren Verlauf auch nicht erklärt. Das Einzige, das da noch steht, ist der Beweis in Kürze, nochmal sauber aufgeschrieben:

Nach dem Satz des Archimedes existiert ein mit . Dann gilt für alle auch und somit .

Das war der Beweis.



Ein allgemeines Problem ist auch, dass ich kein allgemeines Prinzip sehe. Keine klaren Schritte, "Das musst du tun, dann das, dann das, und zwar so und so".
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo epsilon111,

Zitat:
Dann hat man oder ?


Solange ich mit etwas Nichtnegativem multipliziere oder dividere bleibt das Ungleichheitszeichen so, wie es ist.

Zitat:
Der Sinn der Umformung der Ungleichung nach erschließt sich mir noch nicht.


Diese Umformung ist technisch gesehen der Weg hin zum Beweis.
Du gibst dir ein beliebiges Epsilon größer Null vor, welches du bezeichnest.
Wenn es zu jedem ein gibt, ab dem alle weiteren Folgeglieder in der Epsilonumgebung liegen sollen, muss diese Ungleichung irgendwie nach auflösbar sein.
Ist dies möglich, hast du dein gefunden, weil die Bedingung an die Konvergenz erfüllt ist. Das zeigt die Umformung.

Zitat:
Muss man das an dieser Stelle eines Beweises der Folgenkonvergenz immer so machen?


Ja und Nein. Bei vielen Beispielen klappt das sehr gut durch einfache Umformung.
Manchmal muss man Abschätzungen oder weitere Informationen hinzunehmen.
Aber prinzipiell muss ich die Ungleichung nach auflösen können, sonst klappt es mit der Beweisführung nicht.

Zitat:
Wo genau das Verständnisproblem an dieser Stelle liegt, kann ich nur schwer beschreiben. Ich will beweisen, dass alle n>n0 gegen Null konvergieren, und ich zeige das, indem das einfach so festlege. Hm?!


Du legst es nicht einfach fest, sondern du hast es durch die Umformung der Ungleichung nach zuvor geschafft, ein zu finden, ab dem alle weiteren Folgeglieder in der Epsilonumgebung liegen.

ist in

eigentlich nur noch die Darstellung dafür, dass wenn ich nun wähle, meine Folgeglieder alle in der Epsilonumgebung liegen. Der Beweis ist viel früher zu Ende, eben mit der Umformung.

Zitat:
Nach dem Satz des Archimedes existiert ein mit . Dann gilt für alle auch und somit .


Der Satz der Archimedes dient hier nur als Grundlage für den Beweis, denn es muss Strenggenommen noch bewiesen werden, das man mein ein findet mit .

Zitat:
Ein allgemeines Problem ist auch, dass ich kein allgemeines Prinzip sehe. Keine klaren Schritte, "Das musst du tun, dann das, dann das, und zwar so und so".


Das wichtige ist die Umformung nach , da das technisch gesehen den Beweis darstellt.

Also musst du es schaffen mit vorgegebenem



nach umzuformen, ohne irgendwelche mathematischen Fehler zu begehen. Dieses ergibt sich aus der Bedingung



Donquixote hat mit

Zitat:
, denn wenn wir jeden Faktor im Nenner nach unten durch n abschätzen, wird der Bruch nur größer.


das eigentlich gemacht. Strenggenommen hätte er schreiben sollen (für dein Verständnis)



Dadurch erfüllt das gleich wie bei dem Beweis für die Konvergenz der Folge 1/n gegen 0, die Bedingung an die Konvergenz. Das genügt eigentlich schon. Damit habe ich den Beweis und die damit einhergehende Umformung bei dem Beweis der Folge 1/n benutzt, um auch diese Konvergenz zu zeigen und mit erspart es technisch umformen zu müssen. Dies ist häufig sinnvoll, weil die Sache technisch gesehen manchmal zu kompliziert wird, wenn man streng umformen müsste.
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Romaxx,

der Knoten in meinem Kopf löst sich immer mehr. Ich bin dir schon jetzt unendlich dankbar!

Eine Verständnisfrage habe ich noch zu meiner Aufgabe. Es wäre so nett von dir, wenn du dich damit noch kurz befassen würdest.

Ich weiß nicht, wie man auf den Term kommt, was da unten nach dem "+ ..." stehen würde und warum man es damit abschätzt.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo epsilon111,

indem man einfach den Ausdruck zuvor komplett ausmultipliziert und nur den relevanten Teil beschreibt und den Rest durch ... beschreibt und weglässt.

Grüße
epsilon111 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank!
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