Quadratur einer komplexen Zahl

24.11.2013, 19:16

babelon

Quadratur einer komplexen Zahl

Hallo liebe Mathe-Gemeinde smile

Ich habe in meiner Mathematikveranstaltung (Höhere Mathematik I im Studiengang Elektrotechnik) folgende Aufgabe zu lösen.

Sei $\begin{eqnarray*} z = a+ib \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gegeben, wobei $\begin{eqnarray*} b\geq0 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} w=x+iy \end{eqnarray*}$ soll folgende Gleichheit gelten:
$\begin{eqnarray*} w^2 = z \end{eqnarray*}$ .

Unsere Aufgabe lautet nun:
Bestimmen Sie daraus durch schulmäßiges Lösen von quadratischen Gleichungen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} x,y\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Idee war es nun, $\begin{eqnarray*} w^2 \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Dabei erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} w^2 = (x^2-y^2) + i2xy = a+ib = z \end{eqnarray*}$

Damit steht mir ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen für x und y zur Verfügung.
$\begin{eqnarray*} x^2-y^2 = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2xy = b \end{eqnarray*}$

Ich habe nun verschiedene Unformungsschritte ausprobiert aber komme zu keinem (meines Erachtens) sinnvollen Ergebnis.

Kann mir bitte jemand zeigen, wie der mathematische Weg ist, um x und y darzustellen?

Viele liebe Grüße
babelon

25.11.2013, 08:18

Bürgi

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RE: Quadratur einer komplexen Zahl
Moin,

wenn Du dieses Gleichungssystem

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2 = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2xy = b \end{eqnarray*}$

schulmäßig lösen sollst, würde ich folgendermaßen verfahren:

1.
$\begin{eqnarray*} 2xy = b~\implies~y=\frac{b}{2x} \end{eqnarray*}$

2. Einsetzen in die 1. Gleichung ergibt eine biquadratische Gleichung in x, d.h., Du kannst x² direkt ausrechnen.

3. Den Term für x² in die 1. Gleichung einsetzen , um y² zu berechnen.

4. Und jetzt die Frage der Aufgabe unter Berücksichtigung der vorliegenden Ergebnisse beantworten.

27.11.2013, 12:52

babelon

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DANKESCHÖN !!!! smile

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