Abstandsfolge zweier Cauchy-Folgen - Seite 2

26.11.2013, 21:43

Kääsee

Wenn ich alles auf einen Bruch bringe, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_n+x_n|x^*|-x^*-x^*|x_n|}{(1+|x_n|)(1+|x^*|)}\right| \end{eqnarray*}$

Viel hilft mir das aber nicht traurig

Dreiecksungleichung?
Wenn du off bist, vielleicht kann mir jemand anders weiterhelfen?
Stetigkeit haben wir im Übrigen noch nicht behandelt.

27.11.2013, 09:19

EinGast

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Zitat:

Original von Kääsee
Dreiecksungleichung?

ja, die könnte hier nützlich sein

27.11.2013, 18:21

Kääsee

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hmm... also vielleicht so:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_n+x_n|x^*|-x^*-x^*|x_n|}{(1+|x_n|)(1+|x^*|)}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq|( x_n+x_n|x^*|-x^*-x^*|x_n|)|\leq|(x_n-x*+x_n|x^*|-x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |x_n-x*|+|(x_n|x^*|-x^*|x_n|)| < \epsilon +|(x_n|x^*|)|+|(x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\epsilon +2x_nx^* \end{eqnarray*}$

verwirrt

27.11.2013, 18:39

EinGast

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Zitat:

Original von Kääsee

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_n+x_n|x^*|-x^*-x^*|x_n|}{(1+|x_n|)(1+|x^*|)}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq|( x_n+x_n|x^*|-x^*-x^*|x_n|)|\leq|(x_n-x*+x_n|x^*|-x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |x_n-x*|+|(x_n|x^*|-x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$

soweit ok. Dein nächster Schritt ist ungünstig, da ja $\begin{eqnarray*} |(x_n|x^*|)|+|(x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$ nicht klein wird für $\begin{eqnarray*} x_n\to x^* \end{eqnarray*}$

Hinweis, um $\begin{eqnarray*} |(x_n|x^*|-x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$ abzuschätzen: 0 einfügen, indem du einen geeigneten Ausdruck subtrahierst und wieder addierst

27.11.2013, 19:07

Kääsee

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Irgendwie sehe ich nicht, was wir überhaupt erreichen wollen!

$\begin{eqnarray*} \leq |(x_n|x^*|-x^*x_n)|+|(x^*x_n-x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$

?

27.11.2013, 19:45

EinGast

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Zitat:

Original von Kääsee
Irgendwie sehe ich nicht, was wir überhaupt erreichen wollen!

wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Big|x_n|x^*|-x^*|x_n|\Big| \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$
das

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \leq |(x_n|x^*|-x^*x_n)|+|(x^*x_n-x^*|x_n|)| \end{eqnarray*}$

hilft uns leider nicht weiter, da etwa der erste Summand $\begin{eqnarray*} |x_n|\cdot\Big||x^*|-x^*\Big| \end{eqnarray*}$ ist, und das wird nicht 0 im Limes.

Aber aus $\begin{eqnarray*} x_n\to x^* \end{eqnarray*}$ folgt doch $\begin{eqnarray*} x_n|x^*|\to x^*|x^*| \end{eqnarray*}$ sowei $\begin{eqnarray*} x^*|x_n|\to x^*|x^*| \end{eqnarray*}$ (derselbe Grenzwert!), also fügt man doch den ein:

$\begin{eqnarray*} \Big|x_n|x^*|-x^*|x_n|\Big|\le \Big|x_n|x^*|-x^*|x^*|\Big|+ \Big|x^*|x^*|-x^*|x_n|\Big| =|x^*|\cdot|x_n-x^*|+|x^*|\cdot||x^*|-|x_n|| \end{eqnarray*}$
nach der umgekehrten Dreiecksungleichung ist zudem $\begin{eqnarray*} ||x^*|-|x_n||\le |x^*-x_n| \end{eqnarray*}$

Insgesamt haben wir dann gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_n}{1+|x_n|}-\frac{x^*}{1+|x^*|}\right| \le \frac{2|x^*|+1}{(1+|x_n|)(1+|x^*|)}\cdot|x_n-x^*| \end{eqnarray*}$

Da offenbar $\begin{eqnarray*} 2|x^*|+1\le 3(1+|x^*|) \end{eqnarray*}$ , ist daher

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_n}{1+|x_n|}-\frac{x^*}{1+|x^*|}\right| \le 3|x_n-x^*| \end{eqnarray*}$
hoffentlich habe ich mich nicht irgendwo vertippt oder verrechnet...

27.11.2013, 19:53

EinGast

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ok, sorry - es geht auch schneller mit den Grenzwertregeln, dann muss man nicht alles zu Fuss machen

27.11.2013, 20:05

EinGast

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aus $\begin{eqnarray*} x_n\to x^* \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 1+|x_n|\to 1+|x^*| \end{eqnarray*}$ und damit direkt

$\begin{eqnarray*} \frac{x_n}{1+|x_n|}\to \frac{x^*}{1+|x^*|} \end{eqnarray*}$

(aus $\begin{eqnarray*} a_n\to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n\to b \end{eqnarray*}$ folgt allgemein $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} b_n,b\neq0 \end{eqnarray*}$ )
Entschuldigung für den unnötigen Aufwand

27.11.2013, 20:29

Kääsee

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Boar super, danke!
Ich war sehr verwirrt wegen der Aufgabenstellung, weil da einmal xn->x* stand und einmal x->x*. Jetzt haben sie aber das zweite x gegen ein xn geändert -.-

27.11.2013, 20:39

EinGast

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Zitat:

Original von Kääsee
da einmal xn->x* stand und einmal x->x*.

ah, das hatte ich gar nicht bemerkt
ok, es bleibt noch die andere Richtung zu zeigen

27.11.2013, 22:17

Kääsee

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Hmm, das scheint mir dann doch schon schwieriger...
Ich habs so versucht: (also die Voraussetzung ist, dass xn gegen x* in R mit der gegebenen Metrik geht)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x_n= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x_n}{1+|x_n|}\cdot (1+|x_n|)\right)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{x^*}{1+|x^*|}\cdot \lim_{x \to \infty} (1+|x_n|) \end{eqnarray*}$

Das bringt doch alles nix!! traurig

Bin zu hohl!

27.11.2013, 22:38

EinGast

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sei wieder $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb{R}\to(-1,1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{1+|x|} \end{eqnarray*}$ . Dann existiert die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist)
Ich würde zuerst $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ausrechnen, und dann geht es analog wie bei der anderen Richtung wieder mit Grenzwertregeln, einfach mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 14:04

Kääsee

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Oh, sorry, dass ich nicht mehr geantwortet habe!
Wollte mich auf jeden Fall noch herzlich bedanken! Mit Zunge

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