Abstandsfolge zweier Cauchy-Folgen

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Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
Abstandsfolge zweier Cauchy-Folgen
Hey Leute, ich bin mal wieder zu blöd für folgende Aufgabe:
Zitat:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und seien und Cauchy-Folgen. Man zeige, dass die Folge konvergent ist.


Was ich bisher habe:
Da und Cauchy-Folgen sind, gibte es , sodass ein existiert mit und

Dann habe ich umgeformt:







Also


Ich habe das Gefühl, so kurz davor zu sein, aber irgendwie komm' ich nicht weiter Hammer
Bitte um Hilfe!
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstandsfolge zweier Cauchy-Folgen
soweit stimmt das, bis auf einen kleinen Schreibfehler :

Zitat:
Original von Kääsee





Vertauschen von und liefert die andere Ungleichung.

Übrigens hast du damit die Vierecksungleichung hergeleitet, dh falls du diese verwenden darfst, gehts schneller.
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Welche andere Ungleichung? unglücklich
Meinst du, dass ich dann am Ende

erhalte?

Trotzdem sehe ich leider nicht, was ich damit anfangen kann.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst ja letztendlich auf hinaus. Wenn du bloß hast, kannst du noch nichts über sagen. Darum benötigst du noch eben jene andere Ungleichung.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Du willst ja letztendlich auf hinaus.


Ich will doch aber nicht rauskriegen, dass eine Cauchy-Folge ist, sondern dass sie konvergent ist... Daher müsste ich ja irgendwie noch den Grenzwert mit einbauen. Es sei denn, ist der Grenzwert verwirrt
Aber ist es trotzdem nicht so, dass man diese Ungleichung mit dem Betrag nur in benutzen darf? Wir haben ja hier jetzt einen allgemeinen metrischen Raum und wissen ja nicht, wie d definiert ist, oder?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

eine Metrik ist immer eine reellwertige Funktion, dh dein ist eine reelle Folge
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Mich verwirrt das alles gerade traurig
Ich habe hier z.B. auch noch eine andere Aufgabe, wo die Metrik so definiert ist:

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Metrik gegeben ist, spielt keine Rolle (es soll ja für einen beliebigen metrischen Raum gezeigt werden). Was ist denn ganz allgemein eine Metrik? Warum ist dann schon eine reelle Folge und wieso reicht es, dafür die Cauchyeigenschaft nachzuweisen?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eine Metrik ist eine Abstandsfunktion.
Das heißt ja, dass jedem der Folge ein reeller Zahlenwert zugeordnet wird, oder?
Und weil vollständig ist, ist jede Cauchy-Folge konvergent, richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Und mehr ist hier nicht zu zeigen. Augenzwinkern
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Wink
Aber noch eine andere Frage: wie kann ich denn zeigen, dass auch mit der oben angegebenen Metrik vollständig ist? :/
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich müsste ja zeigen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert...
Nehmen wir also an, sei eine Cauchy-Folge, dann existier für ein ein , sodass



Und jetzt? Irgendwie macht es das Ganze nur noch schwerer, wenn ich versuche, es auf einen Bruchstrich zu schreiben...

Könnte man irgendwas mit Dreiecksungleichung versuchen?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
wie kann ich denn zeigen, dass auch mit der oben angegebenen Metrik vollständig ist? :/

verwirrt bist du sicher, dass das stimmt? (Ich denke, dass die reellen Zahlen nicht vollständig sind mit dieser Metrik)
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EinGast
verwirrt bist du sicher, dass das stimmt? (Ich denke, dass die reellen Zahlen nicht vollständig sind mit dieser Metrik)

Oh, nein, du hast Recht! Ich soll überprüfen, ob es stimmt!

Aber trotzdem blicke ich da so gar nicht durch unglücklich
Dann könnte ich ja einfach ein Gegenbeispiel bringen, wenn mir nur was einfallen würde! unglücklich
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Dann könnte ich ja einfach ein Gegenbeispiel bringen

ja, dh eine Cauchy-Folge in finden, die nicht konvergiert (bez der Metrik d). Das ist nicht so schwierig - es könnte eventuell helfen, sich die Funktion () genauer anzusehen (die Metrik ist dann ja )
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. was genau soll ich mit dieser Funktion jetzt machen? Sie auf Konvergenz untersuchen?

Wenn du das meinst, denke ich, die Funktion geht gegen -1, falls t<0 und gegen 1, falls t>0. Also ist sie divergent. Kann man das so sagen?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst wahrscheinlich und
ok, das sind schon mal zwei wichtige Eigenschaften - wie steht's mit Monotonie?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir die Funktion vorstelle, sehe ich, dass die monoton wachsend ist. Aber ich kann das um Gottes Willen auch überhaupt nicht beweisen traurig
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Wenn ich mir die Funktion vorstelle, sehe ich, dass die monoton wachsend ist.

richtig. Zeigen kann man das auf verschiedene Arten, z.B. gilt für

somit streng monoton wachsend (man kann stattdessen auch die Ableitung zu Hilfe nehmen), und ähnlich für
ok, damit können wir uns die Funktion ungefähr vorstellen. Siehst du nun, wie man zu einer Cauchyfolge kommt, die nicht konvergiert? Der Abstand zweier Zahlen in dieser Metrik ist ja der Abstand ihrer Funktionswerte unter
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, irgendwie bin ich zu blöd.
Ich brauche also eine Folge, bei der der Abstand der Folgeglieder mit zunehmendem Index beliebig klein wird, die aber nicht gegen einen Wert konvergiert verwirrt
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

da die reellen Zahlen bijektiv ins Intervall abbildet, genügt es, eine Cauchyfolge (bez dem normalen Betrag!) in zu finden, die nicht konvergiert in . Die Urbilder unter f sind dann die gesuchte Folge
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt überhaupt GAR KEINE Cauchy-Folge ein, die nicht konvergent sein könnte unglücklich
Vielleicht kannst du mir ja mal ein anderes Beispiel für eine divergente Cauchy-Folge geben, sodass ich mir das überhaupt vorstellen kann..? Sorry!

edit:

Achso, könnte ich einfach z.B. nehmen, weil diese Folge den Grenzwert 2 hat und dieser nicht im Intervall liegt? verwirrt
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Achso, könnte ich einfach z.B. nehmen, weil diese Folge den Grenzwert 2 hat und dieser nicht im Intervall liegt? verwirrt

nein, da die ja im Intervall liegen müssen, aber du bist nahe dran...
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »



1 liegt ja schon außerhalb...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

richtig! jetzt musst du nur noch die entsprechenden x-Werte ausrechnen
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Du glaubst nicht, wie blöd ich mich gerade fühle. Ich verstehe überhaupt nicht, was wir hier gerade aus welchem Grund machen traurig
Möchtest du von mir, dass ich jetzt eine "Umkehrfolge" angebe oder was? Von welchen x-Werten redest du?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist ja bijektiv, also existiert zu jedem (liegt im Intervall ) genau ein mit . Und dieses solltest du berechnen
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

also du meinst so:?



Dann müsste ich doch ne Fallunterscheidung zwischen und machen, oder?

Und da bekomm' ich dann zwei unterschiedliche Ergebnisse für x_n raus..
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
also du meinst so:?


ja

Zitat:
Dann müsste ich doch ne Fallunterscheidung zwischen und machen, oder?

nein, muss positiv sein (denn ist negativ für )
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

dann bekäme ich
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ja. Das ist eine Cauchy-Folge in , die nicht konvergiert bez der Metrik . Allgemeiner tut es jede Folge mit oder , also beispielsweise auch einfach
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke. Aber ich muss doch dann noch irgendwie zeigen, dass ich für jedes Epsilon ein passendes N finden kann, sodass für alle größeren Indizes das hier gilt:



Oder nicht?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

ja, du musst irgendwie zeigen, dass sie eine Cauchyfolge bilden. Oder du kannst wie gesagt auch ein anderes nehmen , zB x_n=n

Wenn du die Lösung für die Abgabe aufschreibst, musst du nicht unbedingt so vorgehen, wie wir es jetzt im Thread gemacht haben - das mit der Funktion f sollte nur zeigen, wie man sich das Ganze vorstellen kann und wie man dann eine Lösung findet.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ok, dann nehme ich . Trotzdem macht es das für mich nicht leichter, zu zeigen, dass es eine Cauchy-Folge ist.
Ich werde jetzt erst mal schlafen gehen und morgen ein bisschen überlegen, vielleicht fällt mir ja was ein.
Aber über Tipps wäre ich immer dankbar Augenzwinkern

Auf jeden Fall vielen Dank, dass du mir so toll geholfen hast, obwohl ich relativ schwierig mit mir war! Mit Zunge
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

So, also ich hab jetzt was aufgetüftelt, wäre lieb, wenn ihr mir sagen könntet, ob das ok so ist.

Sei eine Folge mit . Sei mit , .

(Betragsstriche entfallen, da n und m natürliche Zahlen sind)







EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt bis auf einige kleinere Ungenauigkeiten (die alle leicht behebbar sind):

Zitat:
Original von Kääsee

so ist im allgemeinen keine natürliche Zahl - du kannst aber einfach nehmen

Zitat:
(Betragsstriche entfallen, da n und m natürliche Zahlen sind)






soweit bin ich einverstanden

Zitat:

du hast vorausgesetzt, also ist dann

Zitat:

am Schluss erhält man mit deiner Wahl von hier anstelle von (und das zweitletzte Gleichheitszeichen wird ein , wenn du wie oben vorgeschlagen mit einer Ungleichung definierst).

Ok, nun musst du nur noch zeigen, dass die Folge keinen Grenzwert hat
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EinGast

[quote]

du hast vorausgesetzt, also ist dann

ok, dann ?

Zitat:
am Schluss erhält man mit deiner Wahl von hier anstelle von (und das zweitletzte Gleichheitszeichen wird ein , wenn du wie oben vorgeschlagen mit einer Ungleichung definierst).


Dann nehme ich einfach ? smile
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee

ok, dann ?

ja

Zitat:

Dann nehme ich einfach ? smile

ja, wobei das wie gesagt i.a keine ganze Zahl ist
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sorry,

Jetzt geht's aber weiter mit den Fragen unglücklich

Ich soll nun zeigen, dass eine reelle Folge in mit der Standardmetrik genau dann gegen konvergiert, wenn [x gegen in \mathbb R mit dieser gegebenen Metrik konvergiert.

Ich hätte das folgendermaßen angegangen:

Wenn die Folge mit der Standardmetrik den Grenzwert x* hat, dann geht ja auch jedes x der Folge gegen diesen Grenzwert, bzw. da \mathbb R mit der Standardmetrik vollständig ist, ist jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge.


Daher würde ich setzen:



Und jetzt das geeignet umformen, sodass ich zu komme.

Frage:
Gilt

? verwirrt
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Ok, sorry,



Zitat:

Frage:
Gilt

verwirrt verstehe ich nicht

ich würde bei alles auf einen Bruch bringen und dann im Zähler ein bisschen abschätzen, dann erhält man eine obere Schranke der Form mit einer Konstanten (dh die Funktion ist Lipschitz-stetig auf )

PS bin offline für heute
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