Diskriminante - Funktionenschar

24.11.2013, 19:40

Kimyaci

Diskriminante - Funktionenschar

Ich soll untersuchen für welche Werte t der dazugehörige Graph der Funktion zwei, genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse gemeinsam hat.

Für

$\begin{eqnarray*} f(x) = 5t^2 x^2 + 4tx -1 \end{eqnarray*}$

Hab erst mal gleich null gesetzt:

$\begin{eqnarray*} 0 = 5t^2 x^2 + 4tx -1 \end{eqnarray*}$

Und nun die gesamte Gleichung durch 5t² geteilt:

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + \frac{4}{5t} \ x - \frac{1}{5t^2} \end{eqnarray*}$

Nun ist die Diskriminante doch:

$\begin{eqnarray*} D = (\frac{\frac{4}{5t}}{2})^2 + \frac{1}{5t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac{16}{100t^2} + \frac{1}{5t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac{16}{100t^2} + \frac{20}{100t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac{36}{100t^2} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht wie ich von hier aus weiter machen soll... es gibt ja die drei Fälle D > 0, D = 0 und D < 0, aber in jedem Fall verschwindet das t² (0 * t² = 0).

verwirrt

24.11.2013, 19:48

Bjoern1982

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Zitat:

aber in jedem Fall verschwindet das t² (0 * t² = 0).

Was meinst du damit bzw wie kommst du auf 0*t² ?
Da verschwindet eigentlich nichts.

Die Frage ist jetzt ob D hier jemals kleiner oder gleich null werden kann.

Zitat:

Und nun die gesamte Gleichung durch 5t² geteilt:

Damit unterschlägst du aber den Fall t=0, welcher hier zwar letztendlich keine Rolle bei den Nullstellen spielt, jedoch auch erwähnt werden sollte.

24.11.2013, 19:52

Kimyaci

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Zitat:

Die Frage ist jetzt ob D hier jemals kleiner oder gleich null werden kann.

Dann hab ich da wohl was missverstanden, nun da dort t nur als t² auftaucht, ist der Fall D < 0 ausgeschlossen.

Also ist erst mal D > 0, es gibt zwei Lösungen (aber für welche t nun genau?).

Und der Fall D = 0 müsste doch für den Fall $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gelten oder? verwirrt

Zitat:

Damit unterschlägst du aber den Fall t=0, welcher hier zwar letztendlich keine Rolle bei den Nullstellen spielt, jedoch auch erwähnt werden sollte.

Wie hätte ich das denn berücksichtigen sollen?

24.11.2013, 19:57

Bjoern1982

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Zitat:

Und der Fall D = 0 müsste doch für den Fall $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ stattfinden oder?

Nein, denn es geht hier nicht um Grenzwerte, wo der Wert niemals selbst angenommen wird.
Ein Bruchterm wird nur dann null, wenn der Zähler null wird.

Zitat:

Wie hätte ich das denn berücksichtigen sollen?

Die Division durch 5t² als Äquivalenzumformung, kann nur für t ungleich null stattfinden, da man die Gleichung ja sonst durch null dividieren würde.
Für t=0 entsteht ja eine konkrete Funktion, zu welcher man dann noch etwas bzgl. der Nullstellen sagen müsste.

24.11.2013, 20:01

Kimyaci

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Nun gut, dann ist D > 0 für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ , es gibt zwei Lösungen. Ach so, die Werte von t sind dann für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Und für t = 0 ergibt sich eine konstante lineare Funktion, f(x) = - 1, ist ja einfach nur parallel zur x-Achse. Die Funktion f(x) = - 1 hat ja keine Nullstellen.

Also für t = 0 wäre dann D < 0?

Wäre das dann die Lösung?

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